高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件(理).ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 知识梳理 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在这个平面内 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 两点 不在一条直线上 3 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 过该点的公共直线 有且只有一条 2 空间两条直线的位置关系 1 位置关系分类 相交 平行 任何一个平面 2 平行公理 公理4 和等角定理 平行公理 平行于同一条直线的两条直线 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 互相平行 相等或互补 3 异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 范围 锐角 或直角 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 a A 1 a 0 a 无数 0 l 无数 特别提醒 1 唯一性定理 1 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 3 确定平面的三个推论 1 推论1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 2 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 3 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 4 异面直线易误解为 分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线 实质上两异面直线不能确定任何一个平面 因此异面直线既不平行 也不相交 小题快练 链接教材练一练1 必修2P52习题2 1B组T1 2 改编 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AD的中点 则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 选C 连接B1D1 D1C 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求 又B1D1 B1C D1C 所以 D1B1C 60 2 必修2P43练习T1改编 两两相交的三条直线最多可确定 个平面 解析 当三条直线共点且不共面时 最多可确定3个平面 答案 3 感悟考题试一试3 2015 广东高考 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l至少与l1 l2中的一条相交B l与l1 l2都相交C l至多与l1 l2中的一条相交D l与l1 l2都不相交 解析 选A 直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l 则l至少与l1 l2中的一条相交 4 2016 瑞安模拟 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点P在线段AD1上运动 则异面直线CP与BA1所成的角 的取值范围是 A 0 B 0 C 0 D 0 解析 选D 因为A1B D1C 所以CP与A1B所成的角可化为CP与D1C所成的角 由 AD1C是正三角形可知 当P与A重合时所成的角为 因为P不能与D1重合 因为此时D1C与A1B平行 不是异面直线 所以 考向一平面的基本性质 典例1 1 以下命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点A B C D共面 点A B C E共面 则A B C D E共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0B 1C 2D 3 2 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AA1的中点 求证 E C D1 F四点共面 CE D1F DA三线共点 解题导引 1 根据公理2及确定平面的推论判断 2 对于 只需证明EF CD1即可 对于 先证明CE D1F的交点既在平面ABCD内 又在平面ADD1A1内 再利用公理3证明交点在DA上 规范解答 1 选B 中若有三点共线 则四点共面 不合题意 故 正确 中若点A B C在同一条直线上 则A B C D E不一定共面 故 错误 中 直线b c可能是异面直线 故 错误 中 当四条线段构成空间四边形时 四条线段不共面 故 错误 2 如图 连接CD1 EF A1B 因为E F分别是AB和AA1的中点 所以EF A1B且EF A1B 又因为A1D1 BC 且A1D1 BC 所以四边形A1BCD1是平行四边形 所以A1B CD1 所以EF CD1 即EF与CD1确定一个平面 且E F C D1 即E C D1 F四点共面 由 知 EF CD1 且EF CD1 所以四边形CD1FE是梯形 所以CE与D1F必相交 设交点为P 如图 则P CE 平面ABCD 且P D1F 平面A1ADD1 又因为平面ABCD 平面A1ADD1 AD 所以P AD 所以CE D1F DA交于一点 规律方法 1 证明点共面或线共面的常用方法 1 直接法 证明直线平行或相交 从而证明线共面 2 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 3 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 2 证明空间点共线问题的方法 1 公理法 第 2 题证明过程用到此方法 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 纳入直线法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 变式训练 如图所示 四边形ABEF和ABCD都是梯形 BC AD BE FA G H分别为FA FD的中点 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 解析 1 由已知FG GA FH HD 得GHAD 又BCAD 所以GHBC 所以四边形BCHG是平行四边形 2 方法一 由BEAF G为FA中点知BEGF 所以四边形BEFG为平行四边形 所以EF BG 由 1 知BG CH 所以EF CH 所以EF与CH共面 又D FH 所以C D F E四点共面 方法二 如图所示 延长FE DC分别与AB交于点M M 因为BEAF 所以B为MA的中点 因为BCAD 所以B为M A的中点 所以M与M 重合 即FE与DC交于点M M 所以C D F E四点共面 加固训练 如图 在四边形ABCD中 已知AB CD 直线AB BC AD DC分别与平面 相交于点E G H F 求证 E F G H四点必定共线 解析 因为AB CD 所以AB CD确定一个平面 又因为AB E AB 所以E E 即E为平面 与 的一个公共点 同理可证F G H均为平面 与 的公共点 因为两个平面有公共点 它们有且只有一条通过公共点的公共直线 所以E F G H四点必定共线 考向二空间直线的位置关系 考情快递 考题例析 命题方向1 异面直线的判定 典例2 2016 郑州模拟 在图中 G H M N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解题导引 根据异面直线的判定定理判断 规范解答 图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点共面 但M 平面GHN 因此直线GH与MN异面 图 中 连接MG GM HN 因此GH与MN共面 图 中 G M N共面 但H 平面GMN 因此GH与MN异面 所以在图 中GH与MN异面 答案 命题方向2 平行和垂直的判定 典例3 2016 黄石模拟 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是BC1 CD1的中点 则下列说法错误的是 A MN与CC1垂直B MN与AC垂直C MN与BD平行D MN与A1B1平行 解题导引 先证MN与BD平行 然后根据BD与各直线的位置关系 判断MN与各直线的位置关系 规范解答 选D 如图 连接C1D 在 C1DB中 MN BD 故C正确 因为CC1 平面ABCD 所以CC1 BD 所以MN与CC1垂直 故A正确 因为AC BD MN BD 所以MN与AC垂直 故B正确 因为A1B1与BD异面 MN BD 所以MN与A1B1不可能平行 故D错误 技法感悟 1 异面直线的判定方法 1 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 此法在异面直线的判定中经常用到 2 定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线 2 线线平行或垂直的判定方法 1 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断 2 对于线线垂直 往往利用线面垂直的定义 由线面垂直得到线线垂直 题组通关 1 2016 福州模拟 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别在A1D AC上 且A1E 2ED CF 2FA 则EF与BD1的位置关系是 A 相交但不垂直B 相交且垂直C 异面D 平行 解析 选D 连接D1E并延长 与AD交于点M 因为A1E 2ED 可得M为AD的中点 连接BF并延长 交AD于点N 因为CF 2FA 可得N为AD的中点 所以M N重合 且所以所以EF BD1 2 2016 承德模拟 设A B C D是空间四个不同的点 在下列命题中 不正确的是 填序号 若AC与BD共面 则AD与BC共面 若AC与BD是异面直线 则AD与BC是异面直线 若AB AC DB DC 则AD BC 若AB AC DB DC 则AD BC 解析 对于 由于点A B C D共面 显然结论正确 对于 假设AD与BC共面 由 正确得AC与BD共面 这与题设矛盾 故假设不成立 从而结论正确 对于 如图 当AB AC DB DC 使二面角A BC D的大小变化时 AD与BC不一定相等 故不正确 对于 如图 取BC的中点E 连接AE DE 则由题设得BC AE BC DE 根据线面垂直的判定定理得BC 平面ADE 从而AD BC 答案 3 2016 上饶模拟 已知正方体ABCD A1B1C1D1 点P Q R分别是线段B1B AB和A1C上的动点 观察直线CP与D1Q CP与D1R 给出下列结论 对于任意给定的点P 存在点Q 使得D1Q CP 对于任意给定的点Q 存在点P 使得CP D1Q 对于任意给定的点R 存在点P 使得CP D1R 对于任意给定的点P 存在点R 使得D1R CP 其中正确的结论是 解析 只有D1Q 平面BCC1B1 即D1Q 平面ADD1A1时 才能满足对于任意给定的点P 存在点Q 使得D1Q CP 因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1 而D1C1 AB 所以 错误 当点P与B1重合时 CP AB 且CP AD1 所以CP 平面ABD1 因为对于任意给定的点Q 都有D1Q 平面ABD1 所以对于任意给定的点Q 存在点P 使得CP D1Q 所以 正确 只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影时 D1R CP 所以 正确 只有CP 平面A1CD1时 才正确 因为过C点的平面A1CD1的垂线与BB1无交点 所以 错误 答案 考向三异面直线所成的角 典例4 1 如图 在底面为正方形 侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 2 则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 2 2014 全国卷 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分别是A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则BM与AN所成的角的余弦值为 本题源于A版必修2P48练习T2 解题导引 1 连接BC1 先利用AD1 BC1找出所求的角 再利用余弦定理求解 2 通过平行关系找出异面直线的夹角 再根据余弦定理求解 规范解答 1 选D 连接BC1 易证BC1 AD1 则 A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角 连接A1C1 由AB 1 AA1 2 则A1C1 A1B BC1 故cos A1BC1 2 选C 如图 取BC的中点D 连接MN ND AD 由于MNB1C1BD 所以四边形BMND是平行四边形 因此NDBM 则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成的角 或其补角 设BC 2 则BM ND AN AD 因此cos AND 母题变式 1 若本例题 1 条件 AA1 2AB 2 改为 AB 1 若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 试求的值 解析 设 t 则AA1 tAB 因为AB 1 所以AA1 t 连接BC1 易证BC1 AD1 则 A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角 又因为A1C1 A1B BC1 所以cos A1BC1 所以t 3 即 3 2 在本例题 1 的条件下 若点P在平面A1B1C1D1内且不在对角线B1D1上 过点P在平面A1B1C1D1内作一直线m 使m与直线BD成 角 且 这样的直线可作几条 解析 在平面A1B1C1D1内作m 使m与B1D1相交成 角 因为BD B1D1 所以直线m与BD也成 角 当 时 m只有一条 当 时 这样的直线有两条 规律方法 1 平移法求异面直线所成角的常见类型 1 利用图中已有的平行线平移 2 利用特殊点 线段的端点或中点 空间某特殊点 作平行线平移 3 补形平移 2 求异面直线所成角的三个步骤 1 作 通过作平行线 得到相交直线 2 证 证明相交直线夹角为异面直线所成的角 或其补角 3 求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 变式训练 直三棱柱ABC A1B1C1中 若 BAC 90 AB AC AA1 则异面直线BA1与AC1所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 选C 分别取AB AA1 A1C1的中点D E F 连接DE EF DF 则BA1 DE AC1 EF 所以异面直线BA1与AC1所成的角为 DEF 或其补角 设AB AC AA1 2 则DE EF DF 由余弦定理得 DEF 120 即异面直线BA1与AC1所成的角为60 加固训练 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为A1B1 BB1的中点 则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 解析 选D 如图 取AB的中点E 连接B1E 则AM B1E 取EB的中点F 连接FN 则B1E FN 因此AM FN 连接CF 则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角 设AB 1 在 CFN中 由余弦定理得cos cos CNF 2 如图 在正三角形ABC中 D E F分别为各边的中点 G H分别为DE AF的中点 将 ABC沿DE EF DF折成正四面体P DEF 则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为 解析 如图 连接HE 取HE的中点K 连接GK PK 则GK DH 故 PGK即为所求的异面直线所成的角或其补角 设这个正四面体的棱长为2 在 PGK中 故cos PGK 即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是 答案 3 2016 兰州模拟 如图 E F分别是三棱锥P ABC的棱AP BC的中点 PC 10 AB 6 EF 7 则异面直线AB与PC所成的角为 解析 取AC的中点M 连接EM MF 因为E F是中点 所以MF AB MF AB 3 ME PC ME PC 5 所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角 或其补角 在三角形MEF中 cos EMF 所以 EMF 120 所以异面直线AB与PC所成的角为60 答案 60