高考数学一轮复习 第八章 解析几何课件 湘教版.ppt

第八章解析几何 8 1直线的方程8 2两直线的位置关系8 3圆的方程8 4直线与圆 圆与圆的位置关系8 5椭圆8 6双曲线8 7抛物线8 8直线与圆锥曲线的位置关系8 9曲线与方程 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴 与直线l 方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 倾斜角的范围为 8 1直线的方程 2 直线的斜率 定义 一条直线的倾斜角 的叫做这条直线的斜率 斜率常用小写字母k表示 即k 倾斜角是90 的直线斜率不存在 过两点的直线的斜率公式经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式为k 正切值tan 思考探究 直线的倾斜角 越大 斜率k就越大 这种说法正确吗 2 直线方程的五种形式 3 过P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线方程的特例 1 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于x轴 方程为 2 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于y轴 方程为 3 若x1 x2 0 且y1 y2时 直线即为y轴 方程为 4 若x1 x2 且y1 y2 0时 直线即为x轴 方程为 x x1y y1x 0y 0 1 若直线l与直线y 1 x 7分别交于点P Q 且线段PQ的中点坐标为 1 1 则直线l的斜率为 AB C D 5 过点M 3 4 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 直线的倾斜角与斜率 直线方程有五种形式 在设所求直线的方程时 一定要注意所设方程的适用范围 如用点斜式时 要考虑到直线的斜率不存在的情况 以免解答不严密或漏解 又如直线与坐标轴围成三角形面积问题 常设直线的截距式方程 注意最后的结果一般要将方程化为一般式 直线的方程 根据所给条件求直线的方程 1 直线过点 4 0 倾斜角的正弦值为 2 直线过点 3 4 且在两坐标轴上的截距之和为12 3 直线过点 5 10 且到原点的距离为5 4 过点A 1 1 与已知直线l1 2x y 6 0相交于B点 且 AB 5 解析 1 由题设知 该直线的斜率存在 故可采用点斜式 设倾斜角为 则sin 0 从而cos 则k tan 故所求直线方程为y x 4 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 由题设知截距不为0 设直线方程为 1 又直线过点 3 4 从而 1 解得a 4或a 9 故所求直线方程为4x y 16 0或x 3y 9 0 3 当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设其为k 则所求直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 由点线距离公式 得 10 5k k2 1 5 解得k 34 故所求直线方程为3x 4y 25 0 综上知 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 变式训练 2 求适合下列条件的直线方程 1 经过点P 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 2 经过点A 1 3 倾斜角等于直线y 3x的倾斜角的2倍 直线方程的应用 1 利用直线方程解决问题时 选择适当的直线方程形式 可以简化运算 1 已知一点 通常选择点斜式 2 已知斜率 选用斜截式 3 已知截距或两点选用截距式或两点式 如求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时 设直线的斜截式或截距式比较方便 2 在利用方程解决实际问题的过程中 要善于将所求的量 用坐标表示 然后通过坐标满足的方程进行消元 最终将目标表示为x的函数 再利用求函数最值的方法来解决问题 3 使用直线方程时 一定要注意限制条件以免解题过程中丢解 如点斜式的使用条件是直线必须有斜率 截距式的使用条件是截距存在且不为零 两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直 4 两个相互独立的条件确定一条直线 因此 求直线方程时 首先分析是否具备两个相互独立的条件 然后恰当地选用直线方程的形式 准确地写出直线方程 要注意若不能断定直线具有斜率时 应对k的存在与否加以讨论 通过对近两年高考试题的统计分析可以看出 直线方程在近几年高考中多以中低档题出现 主要考查基础知识和基本方法 对直线倾斜角和斜率的考查 主要考查倾斜角与斜率的关系 考查直线斜率的几何意义 而直线方程 主要考查用定义法和待定系数法求方程 是常考题型 阅后报告 1 求直线方程时 要考虑对斜率是否存在 截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论 2 本题需对斜率k为0和不为0进行分类讨论 易错点是忽略斜率不存在的情况 2 2014 福建卷 已知直线l过圆x2 y 3 2 4的圆心 且与直线x y 1 0垂直 则l的方程是 A x y 2 0B x y 2 0C x y 3 0D x y 3 0 解析 由直线l与直线x y 1 0垂直 可设直线l的方程为x y m 0 又直线l过圆x2 y 3 2 4的圆心 0 3 则m 3 所以直线l的方程为x y 3 0 故选D 答案 D 8 2两直线的位置关系 1 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行对于两条不重合的直线l1 l2 其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 特别地 当直线l1 l2的斜率都不存在时 l1与l2的关系为 k1 k2平行 2 两条直线垂直如果两条直线l1 l2斜率存在 设为k1 k2 则l1 l2 思考探究 1 两条直线l1 l2垂直的充要条件是斜率之积为 1 这句话正确吗 提示 不正确 由两直线的斜率之积为 1 可以得出两直线垂直 反过来 两直线垂直 斜率之积不一定为 1 如果l1 l2中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为0时 l1与l2互相垂直 k1 k2 1 交点坐标相交交点坐标无解平行 思考探究 2 使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么 提示 1 直线方程必须化成一般式Ax By C 0的形式 2 两平行线间的距离公式使用时还要注意x y的系数必须相同时才能读出C1 C2的值 3 已知直线l过点P 3 4 且与点A 2 2 B 4 2 等距离 则直线l的方程为 A 2x 3y 18 0B 2x y 2 0C 3x 2y 18 0或x 2y 2 0D 2x 3y 18 0或2x y 2 0 解析 由题意可知所求直线斜率存在 故设所求直线方程为y 4 k x 3 即kx y 4 3k 0 由已知 得 2k 2 4 3k 1 k2 4k 2 4 3k 1 k2 k 2或 23 所求直线l的方程为2x y 2 0或2x 3y 18 0 答案 D 两条直线的位置关系 直线系方程 运用直线系方程 有时会给解题带来方便 常见的直线系方程有 1 与直线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By m 0 m R且m C 2 与直线Ax By C 0垂直的直线系方程是Bx Ay m 0 m R 3 斜率为k 定值 的平行线系方程为y kx b 其中k为常数 b为参数 求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 距离问题 应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时 直线方程应化为一般式 特别是使用两平行线距离公式时 两条直线方程中的x y前的系数必须分别对应相等 在对称问题中 点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称 处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件 转化为代数关系列方程求解 也可以先求出过点A与l垂直的直线方程 再求中点坐标 处理线关于线的对称可以转化为点关于直线的对称问题来解决 直线关于点的对称都可转化为点关于点的对称来处理 结合 代入法 求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法 对称问题 变式训练 4 一条光线经过P 2 3 点 射在直线l x y 1 0上 反射后穿过点Q 1 1 1 求入射光线的方程 2 求这条光线从P到Q的长度 1 两条直线平行与垂直的判断与应用 1 两条直线斜率相等或斜率都不存在是两直线平行的必要而不充分条件 此处还要注意 不过同一点 这一条件 2 两条直线斜率乘积等于 1是两条直线垂直的充分不必要条件 注意一条直线斜率不存在 一条直线斜率为0的情况 从近两年的高考试题来看 两条直线的位置关系 点到直线的距离 两条平行线间的距离 两点间的距离是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度为中 低档题 客观题主要考查距离公式的应用 主观题主要是在知识交汇点处命题 全面考查基本概念 基本运算能力 1 2013 重庆卷 设P是圆 x 3 2 y 1 2 4上的动点 Q是直线x 3上的动点 则 PQ 的最小值为 A 6B 4C 3D 2 解析 画出已知圆 利用数形结合法求解 如图 圆心M 3 1 与定直线x 3的最短距离为 MQ 3 3 6 又圆的半径为2 故所求最短距离为6 2 4 答案 B 2 2013 四川卷 在平面直角坐标系内 到点A 1 2 B 1 5 C 3 6 D 7 1 的距离之和最小的点的坐标是 8 3圆的方程 思考探究 二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的条件是什么 求圆的方程 常见的求圆的方程的方法有两种 一是利用圆的几何特征 求出圆心坐标和半径 写出圆的标准方程 二是利用待定系数法 它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹时 根据题设条件的不同常采用以下做法 1 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 2 定义法 根据圆 直线等定义列方程 3 几何法 利用圆与圆的几何性质列方程 4 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 此外还有交轨法 参数法等 不论哪种方法 充分利用圆与圆的几何性质 找出动点与定点之间的关系是解题的关键 与圆有关的最值问题 2 解决轨迹问题 应注意以下几点 1 求方程前必须建立平面直角坐标系 若题目中有点的坐标 则无需建系 否则曲线就不可转化为方程 2 一般地 设点时 将动点坐标设为 x y 其他与此相关的点设为 x0 y0 等 3 求轨迹与求轨迹方程是不同的 求轨迹方程得出方程即可 而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形 从近两年的高考试题来看 求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标 半径等是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 客观题突出了 小技巧 主要考查圆的标准方程 一般方程 主观题往往在知识交汇处命题 除考查圆的标准方程 一般方程外 还考查待定系数法 方程思想等 8 4直线与圆 圆与圆的位置关系 思考探究 用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系 提示 不能 当两圆方程组成的方程组有一解时 两圆有外切 内切两种可能情况 当方程组无解时 两圆有相离 内含两种可能情况 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系 常用两种方法 一是判断直线与圆的方程组成的方程组有无实数解 根据解的情况研究直线与圆的位置关系 二是依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系 圆的切线及弦长问题 圆与圆的位置关系 讨论两圆的位置关系 可通过两圆方程联立的方程组的实数解个数来讨论 但一方面讨论实数解个数本身较繁 另一方面 有时单从实数解个数并不能完全反映两圆的位置关系 如两圆相离及内含 其对应方程组均无实数解 要区分它们 还需要验证某个圆心是否在另一个圆内 简单的方法是用圆心距与两圆半径的关系来讨论 与圆有关的综合问题 变式训练 4 已知A 2 0 B 2 0 C m n 1 若m 1 n 3 求 ABC的外接圆的方程 2 若以线段AB为直径的圆O过点C 异于点A B 直线x 2交直线AC于点R 线段BR的中点为D 试判断直线CD与圆O的位置关系 并证明你的结论 解析 1 方法一设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 由题意可得4 2D F 0 4 2D F 0 1 3 D 3E F 0 解得D E 0 F 4 ABC的外接圆方程为x2 y2 4 0 即x2 y2 4 1 求切线时 若知道切点 则可直接利用公式 若过圆外一点求切线 一般运用圆心到直线的距离等于半径来求 但注意应有两条切线 2 求圆的弦长问题 注意应用圆的性质解题 即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质 可以用勾股定理或斜率之积为 1列方程来简化运算 3 圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为 PO r 最大值为 PO r 其中r为圆O的半径 4 若两圆相交时 把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程 5 在解题过程中能适当利用圆系方程 有时可达到理想效果 圆系是具有某些共同性质的圆的集合 从近两年的高考试题来看 直线与圆的位置关系 弦长 圆与圆的位置关系等是高考的热点 三种题型都有可能出现 难度属中等偏高 客观题主要考查直线与圆的位置关系 弦长等问题 主观题考查较为全面 除考查直线与圆的位置关系 弦长等问题外 还考查基本运算 等价转化 数形结合思想等 1 椭圆的定义平面内到两个定点F1 F2的距离之 等于常数 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 8 5椭圆 思考探究 2 椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系 提示 离心率越接近1 椭圆越扁 离心率越接近0 椭圆就越接近于圆 求椭圆的标准方程 1 求椭圆的标准方程 一般分三步完成 1 定型 确定它是椭圆 2 定位 判断中心在原点 焦点在哪条坐标轴上 3 定量 建立关于基本量a b c e的关系式 解出即得所求标准方程 椭圆的几何性质 充分条件与必要条件的应用 从近两年的高考试题来看 椭圆的定义 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 求椭圆的标准方程是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度属中等偏高 部分解答题为较难题目 客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用 主观题考查较为全面 在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时 又考查直线与圆锥曲线的位置关系 考查学生分析问题 解决问题的能力 运算能力以及数形结合思想 1 双曲线的定义我们把平面内与两个定点F1 F2的距离的差的 等于常数 小于 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的 两焦点间的距离叫做双曲线的 8 6双曲线 思考探究 1 当定义中的常数等于 F1F2 或大于 F1F2 动点的轨迹分别是什么图形 提示 结合图形知 当常数等于 F1F2 时 动点的轨迹是两条射线 当常数大于 F1F2 时 动点的轨迹不存在 思考探究 2 双曲线的离心率的大小与双曲线 开口 大小有怎样的关系 提示 离心率越大 双曲线的 开口 越大 1 双曲线方程为x2 2y2 1 则它的左焦点的坐标为 A 2 2 0 B 5 2 0 C 6 2 0 D 3 0 双曲线的定义 1 利用双曲线的定义求轨迹方程 首先要充分利用几何条件探求轨迹的曲线类型是否符合双曲线的定义 2 常用定义解焦点三角形问题 变式训练 1 1 若双曲线x2 4 y2 12 1上的一点P到它的右焦点的距离为8 则点P到它的左焦点的距离是 A 4B 12C 4或12D 6 2 已知F是双曲线x2 4 y2 12 1的左焦点 A 1 4 P是双曲线右支上的动点 则 PF PA 的最小值为 A 5B 5 4 3C 7D 9 3 已知F为双曲线C 的左焦点 P Q为C上的点 若PQ的长等于虚轴长的2倍 点A 5 0 在线段PQ上 则 PQF的周长为 求双曲线的标准方程 双曲线的几何性质 1 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 六点 两个焦点 两个顶点 两个虚轴的端点 四线 两条对称轴 两条渐近线 两形 中心 焦点以及虚轴端点构成的三角形 双曲线上一点和两焦点构成的三角形 来研究它们之间的相互关系 明确a b c e的几何意义及它们的相互关系 简化解题过程 1 求双曲线标准方程的方法 1 定义法 根据题目的条件 判断是否满足双曲线的定义 若满足 求出相应的a b c即可求得方程 2 待定系数法 其步骤是 定位 确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上 设方程 根据焦点的位置设出相应的双曲线方程 定值 根据题目条件确定相关的系数 从近两年的高考试题来看 双曲线的定义 标准方程及几何性质是高考的热点 题型大多为选择题 填空题 难度为中等偏高 主要考查双曲线的定义及几何性质 考查基本运算能力及等价转化思想 思考探究 当定点F在定直线l上时 动点的轨迹是什么图形 提示 当定点F在定直线l上时 动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线 1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 距离 的点的轨迹叫做抛物线 点F叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 8 7抛物线 2 抛物线的标准方程及其简单几何性质 1 若点P到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点P的轨迹为 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 解析 由题意知 点P到点 2 0 的距离与P到直线x 2的距离相等 由抛物线定义得点P的轨迹是以 2 0 为焦点 以直线x 2为准线的抛物线 故选D 答案 D 4 已知过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 O是坐标原点 AF 2 则 BF OAB的面积是 解析 设A x0 y0 由抛物线定义知x0 1 2 x0 1 则直线AB x轴 BF AF 2 AB 4 故 OAB的面积S 12 AB OF 1 2 4 1 2 答案 22 抛物线的定义的应用 变式训练 1 1 2014 郑州第一次质量预测 已知抛物线x2 4y上有一条长为6的动弦AB 则AB的中点到x轴的最短距离为 2 2014 哈尔滨四校统考 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 5 0 在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1 到直线l的距离为d2 则d1 d2的最小值为 3 已知抛物线y2 4x 过焦点F的直线与抛物线交于A B两点 过A B分别作y轴垂线 垂足分别为C D 则 AC BD 的最小值为 抛物线的标准方程 1 已知抛物线的标准方程 可以确定抛物线的开口方向 焦点的位置及p的值 进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程 2 求抛物线的标准方程常用待定系数法 即利用题目中的已知条件确定p的值 抛物线焦点弦的性质 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A B两点 点C在抛物线的准线上 且BC x轴 证明 直线AC经过原点O 直线与抛物线的位置关系 设抛物线方程为y2 2px p 0 直线Ax By C 0 将直线方程与抛物线方程联立 消去x得到关于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 当 0时 直线与抛物线有两个公共点 当 0时 直线与抛物线只有一个公共点 当 0时 直线与抛物线没有公共点 2 若m 0 直线与抛物线只有一个公共点 此时直线与抛物线的对称轴平行 物线C y mx2 m 0 焦点为F 直线2x y 2 0交抛物线C于A B两点 P是线段AB的中点 过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q 1 求抛物线C的焦点坐标 2 若抛物线C上有一点R xR 2 到焦点F的距离为3 求此时m的值 3 是否存在实数m 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 说明理由 变式训练 4 2014 福州质检 已知曲线y2 2px p 0 在第一象限内与圆x2 y2 4x 1 0交于不同的两点A B 1 求p的取值范围 2 如果在x轴上只有一个点M 使MA MB 求p的值及M的坐标 通过分析近两年的高考试题可以看出 一方面以选择题 填空题的形式考查抛物线的定义 标准方程及简单几何性质等基础知识 另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质 直线与抛物线的位置关系的综合问题 着力于数学思想方法及数学语言的考查 题目的运算量一般不是很大 属于中档题 4 2014 湖北卷 在平面直角坐标系xOy中 点M到点F 1 0 的距离比它到y轴的距离多1 记点M的轨迹为C 1 求轨迹C的方程 2 设斜率为k的直线l过定点P 2 1 求直线l与轨迹C恰好有一个公共点 两个公共点 三个公共点时k的相应取值范围 8 8直线与圆锥曲线的位置关系 1 若a 0 当圆锥曲线是双曲线时 直线l与双曲线的渐近线 当圆锥曲线是拋物线时 直线l与拋物线的对称轴 2 若a 0 b2 4ac 0时 直线与圆锥曲线 0时 直线与圆锥曲线 0时 直线与圆锥曲线 1 直线y kx 2与抛物线y2 8x有且只有一个公共点 则k的值为 A 1B 1或3C 0D 1或0 解析 由y kx 2 y2 8x 得k2x2 4k 8 x 4 0 若k 0 则y 2 若k 0 若 0 即64 64k 0 解得k 1 因此直线y kx 2与抛物线y2 8x有且只有一个公共点 则k 0或1 答案 D 直线与圆锥曲线的位置关系 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数 可以研究直线与圆锥曲线的位置关系 也就是用代数的方法研究几何问题 这是解析几何的重要思想方法 方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数 若含参数 需按二次项系数是否为零进行分类讨论 只有二次项系数不为零时 方程才是一元二次方程 后面才可以用判别式 的符号判断方程解的个数 从而说明直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线中的弦长问题 求直线被二次曲线截得的弦长 通常是将直线与二次曲线方程联立 得到关于x 或y 的一元二次方程 然后利用根与系数的关系及弦长公式求解 中点弦问题 对于中点弦问题 常用的解题方法是点差法 其解题步骤为 1 设点 即设出弦的两端点坐标 2 代入 即代入圆锥曲线方程 3 作差 即两式相减 再用平方差公式把上式展开 4 整理 即转化为斜率与中点坐标的关系式 然后求解 圆锥曲线中的最值及范围问题 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题 解决此类问题 一般有两个思路 1 构造关于所求量的函数 通过求函数的值域来获得问题的解 2 构造关于所求量的不等式 通过解不等式来获得问题的解 1 直线与圆锥曲线相交的问题 1 直线与圆锥曲线相交是解析几何中一类重要问题 解题时注意应用韦达定理及 设而不求 的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题 2 运用 点差法 的方法解决弦的中点问题涉及弦的中点问题 可以利用判别式和韦达定理的方法加以解决 也可利用 点差法 的方法解决此类问题 若知道中点 则利用 点差法 的方法可得出过中点弦的直线的斜率 比较两种方法 用 点差法 的方法的计算量较少 此法在解决有关存在性的问题时 要结合图形和判别式 加以检验 2 定值与最值问题 1 圆锥曲线中的定值问题在解析几何问题中 有些几何量和参数无关 这就构成定值问题 解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定 定值 是多少 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式 证明该式是恒定的 2 圆锥曲线中的最值问题解决圆锥曲线中的最值问题 一般有两种方法 一是几何法 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙 二是代数法 将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题 即根据条件列出所求的目标函数 然后根据函数的特征选用参数法 配方法 差别式法 三角有界法 函数单调法及均值不等式法等 求解最大或最小值 定点定值问题 1 求解直线和曲线过定点问题的基本思路是 把直线或曲线方程中的变量x y当作常数看待 把方程一端化为零 既然是过定点 那么这个方程就要对任意参数都成立 这时参数的系数就要全部等于零 这样就得到一个关于x y的方程组 这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点 2 解析几何中的定值问题是指某些几何量 线段的长度 图形的面积 角的度数 直线的斜率等 的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关 不依参数的变化而变化 而始终是一个确定的值 3 求定值问题常见的方法有两种 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 1 直线与圆锥曲线相交的问题 1 直线与圆锥曲线相交是解析几何中一类重要问题 解题时注意应用韦达定理及 设而不求 的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题 2 运用 点差法 解决弦的中点问题涉及弦的中点问题 可以利用判别式和韦达定理加以解决 也可利用 点差法 解决此类问题 若知道中点 则利用 点差法 可得出过中点弦的直线的斜率 比较两种方法 用 点差法 的计算量较少 此法在解决有关存在性的问题时 要结合图形和判别式 加以检验 2 定值与最值问题 1 圆锥曲线中的定值问题在解析几何问题中 有些几何量和参数无关 这就构成定值问题 解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定 定值 是多少 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式 证明该式是恒定的 2 圆锥曲线中的最值问题解决圆锥曲线中的最值问题 一般有两种方法 一是几何法 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙 二是代数法 将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题 即根据条件列出所求的目标函数 然后根据函数的特征选用参数法 配方法 差别式法 三角有界法 函数单调法及均值不等式法等 求解最大或最小值 从近两年的高考试题来看 直线与圆锥曲线的位置关系 弦长 中点弦的问题等是高考的热点问题 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度属中等偏高 客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系 弦长问题 解答题考查较为全面 在考查上述问题的同时常与向量知识相结合 注重考查函数与方程 转化与化归 分类讨论等思想方法 4 2014 浙江卷 已知 ABP的三个顶点都在抛物线C x2 4y上 F为抛物线C的焦点 点M为AB的中点 PF 3FM 1 若 PF 3 求点M的坐标 2 求 ABP面积的最大值 8 9曲线与方程 1 曲线与方程在平面直角坐标系中 如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么 这个方程叫做 这条曲线叫做 思考探究 若曲线与方程的对应关系中只满足第 2 条会怎样 提示 若只满足 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 则这个方程可能只是部分曲线的方程 而非整个曲线的方程 2 求动点的轨迹方程的一般步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点P x y 3 列式 列出动点P所满足的关系式 4 代换 依条件式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为x y的方程式 并化简 5 证明 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 2 已知在直角坐标系中一点A 3 1 一条直线l x 1 平面内一动点P 点P到点A的距离与到直线l的距离相等 则点P的轨迹方程是 A y 1 2 8 x 1 B y 1 2 8 x 1 C y 1 2 8 x 1 D y 1 2 8 x 1 解析 设点P坐标为 x y 则 x 3 2 y 1 2 x 1 2 整理得 y 1 2 8 x 1 答案 D 直接法求轨迹方程 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系 或这些几何条件简单明了且易于表达 那么只需把这种关系转化成含有数值的表达式 通过化简整理便可得到曲线的方程 这种求曲线方程的方法是直接法 定义法求轨迹方程 求轨迹方程时 若动点轨迹的条件满足圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做定义法 因为圆锥曲线的定义 标准方程是新课标教材的重点内容 也是高考的重点内容 所以用定义法求轨迹方程是新课标高考的热点 用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义 相关点法 代入法 求轨迹方程 此法的特点是 动点M x y 随已知曲线上的点的运动而运动 则M的坐标取决于已知曲线C上的点 x y 的坐标 可先用x y来表示x y 再代入曲线C的方程f x y 0 即得点M的轨迹方程 1 曲线和方程的概念由曲线和方程的概念可知 在求曲线方程时一定要注意它的 完备性 和 纯粹性 即轨迹若是曲线的一部分 应对方程注明x的取值范围 或同时注明x y的取值范围 2 轨迹与轨迹方程的区别与联系 轨迹 与 轨迹方程 既有区别又有联系 求 轨迹 时首先要求出 轨迹方程 然后再说明方程的轨迹图形 最后 补漏 和去掉增多的点 若轨迹有不同的情况 应分别讨论 以保证它的完整性 从近两年的高考试题来看 由定义法求曲线的方程 由已知条件直接求曲线的方程等是高考的热点 题型大多为解答题 难度为中等偏高 主要考查曲线的定义 求曲线轨迹方程的方法 考查学生的运算能力 以及分析问题 解决问题的能力