高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题课件 理.ppt

9 9圆锥曲线的综合问题 课时3定点 定值 探索性问题 内容索引 题型一定点问题 题型二定值问题 题型三探索性问题 思想方法感悟提高 思想与方法系列 练出高分 题型一定点问题 1 求椭圆的标准方程 解设椭圆的焦距为2c 由题意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 所以a2 3 题型一定点问题 解析答案 2 若 1 2 3 试证明 直线l过定点并求此定点 解析答案 思维升华 解由题意设P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 设l方程为x t y m 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 解析答案 思维升华 由题意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由题意mt 0 mt 1 满足 得l方程为x ty 1 过定点 1 0 即Q为定点 思维升华 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 1 求椭圆E的方程 跟踪训练1 解析答案 解析答案 返回 即QC QD 所以Q点在y轴上 可设Q点的坐标为 0 y0 当直线l与x轴垂直时 设直线l与椭圆相交于M N两点 解当直线l与x轴平行时 设直线l与椭圆相交于C D两点 解析答案 解得y0 1或y0 2 所以 若存在不同于点P的定点Q满足条件 则Q点坐标只可能为 0 2 当直线l的斜率不存在时 由上可知 结论成立 当直线l的斜率存在时 可设直线l的方程为y kx 1 A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 解析答案 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 点B关于y轴对称的点B 的坐标为 x2 y2 解析答案 返回 题型二定值问题 1 求双曲线C的方程 题型二定值问题 解析答案 解设F c 0 因为b 1 解析答案 解析答案 思维升华 因为直线AF的方程为x 2 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 2 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 3 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 1 求动点Q的轨迹C的方程 跟踪训练2 解析答案 解依题意知 点R是线段FP的中点 且RQ FP RQ是线段FP的垂直平分线 点Q在线段FP的垂直平分线上 PQ QF 又PQ是点Q到直线l的距离 故动点Q的轨迹是以F为焦点 l为准线的抛物线 其方程为y2 2x x 0 2 设圆M过A 1 0 且圆心M在曲线C上 TS是圆M在y轴上截得的弦 当M运动时 弦长TS是否为定值 请说明理由 解弦长TS为定值 理由如下 取曲线C上点M x0 y0 M到y轴的距离为d x0 x0 解析答案 返回 题型三探索性问题 例3 2015 湖北 一种作图工具如图1所示 O是滑槽AB的中点 短杆ON可绕O转动 长杆MN通过N处铰链与ON连结 MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动 且DN ON 1 MN 3 当栓子D在滑槽AB内作往复运动时 带动N绕O转动一周 D不动时 N也不动 M处的笔尖画出的曲线记为C 以O为原点 AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系 题型三探索性问题 1 求曲线C的方程 解析答案 解设点D t 0 t 2 N x0 y0 M x y 由于当点D不动时 点N也不动 所以t不恒等于0 解析答案 2 设动直线l与两定直线l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分别交于P Q两点 若直线l总与曲线C有且只有一个公共点 试探究 OPQ的面积是否存在最小值 若存在 求出该最小值 若不存在 说明理由 解析答案 思维升华 解 当直线l的斜率不存在时 直线l为x 4或x 4 解析答案 思维升华 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 1 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 当且仅当k 0时取等号 所以当k 0时 S OPQ的最小值为8 综合 可知 当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时 OPQ的面积取得最小值8 思维升华 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取另外合适的方法 解抛物线y2 8x的焦点为椭圆E的顶点 即a 2 跟踪训练3 解析答案 解析答案 返回 解设A x1 y1 B x2 y2 P x1 x2 y1 y2 解析答案 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 设T t 0 Q 4 m 4k 解析答案 4k2 3 4m2 解析答案 则1 t 0 t 1 返回 思想与方法系列 思想与方法系列 21 设而不求 整体代换 解析答案 规范解答解由于c2 a2 b2 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连结PF1 PF2 设 F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M m 0 求m的取值范围 解析答案 解设P x0 y0 y0 0 PF1 PF2 解析答案 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 解设P x0 y0 y0 0 则直线l的方程为y y0 k x x0 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 温馨提醒 返回 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 如设动点坐标 动直线方程等 利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组 再化为一元二次方程 从而利用根与系数的关系进行整体代换 达到 设而不求 减少计算 的效果 直接得定值 思想方法感悟提高 1 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 定点的探索与证明问题 1 探索直线过定点时 可设出直线方程为y kx b 然后利用条件建立b k等量关系进行消元 借助于直线系的思想找出定点 2 从特殊情况入手 先探求定点 再证明与变量无关 方法与技巧 1 在解决直线与抛物线的位置关系时 要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况 2 中点弦问题 可以利用 点差法 但不要忘记验证 0或说明中点在曲线内部 3 解决定值 定点问题 不要忘记特值法 失误与防范 返回 练出高分 又a2 b2 c2 所以b2 12 1 2 3 4 5 解析答案 2 是否存在平行于OA的直线l 使得直线l与椭圆C有公共点 且直线OA与l的距离等于4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 解析答案 解假设存在符合题意的直线l 1 2 3 4 5 解析答案 因为直线l与椭圆C有公共点 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 1 2 3 4 5 解析答案 所以不存在符合题意的直线l 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解由已知 点C D的坐标分别为 0 b 0 b 1 2 3 4 5 解析答案 解当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为y kx 1 A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 1 2 3 4 5 解析答案 当直线AB斜率不存在时 直线AB即为直线CD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 2 过点的动直线l交椭圆C于A B两点 试问 在坐标平面上是否存在一个定点Q 使得以线段AB为直径的圆恒过点Q 若存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 解析答案 当l与y轴平行时 以线段AB为直径的圆的方程为x2 y2 1 1 2 3 4 5 解析答案 故若存在定点Q 则Q的坐标只可能为Q 0 1 下面证明Q 0 1 为所求 若直线l的斜率不存在 上述已经证明 A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 144k2 64 9 18k2 0 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 2 设直线l与椭圆C相交于A B两点 若以AB为直径的圆经过坐标原点 证明 点O到直线AB的距离为定值 1 2 3 4 5 解析答案 证明设A x1 y1 B x2 y2 当直线AB的斜率不存在时 则由椭圆的对称性 可知x1 x2 y1 y2 1 2 3 4 5 解析答案 当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为y kx m 1 2 3 4 5 解析答案 因为以AB为直径的圆过坐标原点O 所以OA OB 所以 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 1 2 3 4 5 解析答案 整理得5m2 4 k2 1 1 2 3 4 5 解因为双曲线E的渐近线分别为y 2x y 2x 1 2 3 4 5 解析答案 2 如图 O为坐标原点 动直线l分别交直线l1 l2于A B两点 A B分别在第一 四象限 且 OAB的面积恒为8 试探究 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E 若存在 求出双曲线E的方程 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 解析答案 返回 设直线l与x轴相交于点C 当l x轴时 若直线l与双曲线E有且只有一个公共点 则OC a AB 4a 1 2 3 4 5 解析答案 又因为 OAB的面积为8 若存在满足条件的双曲线E 1 2 3 4 5 解析答案 设直线l的方程为y kx m 依题意 记A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 因为4 k2 0 所以m2 4 4 k2 4 k2 4 得 4 k2 x2 2kmx m2 16 0 1 2 3 4 5 解析答案 所以 4k2m2 4 4 k2 m2 16 16 4k2 m2 16 又因为m2 4 k2 4 所以 0 即l与双曲线E有且只有一个公共点 1 2 3 4 5 解析答案 设直线l的方程为x my t A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 所以t2 4 1 4m2 4 1 4m2 设直线l与x轴相交于点C 则C t 0 1 2 3 4 5 解析答案 得 4m2 1 y2 8mty 4 t2 a2 0 因为4m2 1 0 直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当 64m2t2 16 4m2 1 t2 a2 0 即4m2a2 t2 a2 0 即4m2a2 4 1 4m2 a2 0 即 1 4m2 a2 4 0 所以a2 4 因此 存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E 1 2 3 4 5 解析答案 方法三当直线l不与x轴垂直时 设直线l的方程为y kx m A x1 y1 B x2 y2 依题意 得k 2或k 2 得 4 k2 x2 2kmx m2 0 因为4 k20 1 2 3 4 5 解析答案 又因为 OAB的面积为8 1 2 3 4 5 解析答案 化简 得x1x2 4 1 2 3 4 5 解析答案 得 4 k2 x2 2kmx m2 4a2 0 因为4 k2 0 直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当 4k2m2 4 4 k2 m2 4a2 0 即 k2 4 a2 4 0 所以a2 4 1 2 3 4 5 解析答案 返回 1 2 3 4 5