高考数学一轮复习 8-2 空间点 线 面的位置关系课件 新人教A版.ppt

最新考纲1 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 第2讲空间点 线 面的位置关系 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 知识梳理 两点 不在一条直线上 一个 4 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条 直线有且只有一个平面 推论3 经过两条 直线有且只有一个平面 2 空间中两直线的位置关系 1 位置关系的分类 相交 平行 平行 相交 任何 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 范围 3 平行公理和等角定理 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 锐角 或直角 同一条直线 相等或互补 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有 三种情况 2 平面与平面的位置关系有 两种情况 相交 平行 在平面内 平行 相交 1 判断正误 在括号内打 或 精彩PPT展示 1 梯形可以确定一个平面 2 圆心和圆上两点可以确定一个平面 3 已知a b c d是四条直线 若a b b c c d 则a d 4 两条直线a b没有公共点 则a与b是异面直线 诊断自测 2 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b A 一定是异面直线B 一定是相交直线C 不可能是平行直线D 不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线 但不可能为平行直线 若b c 则a b 与已知a b为异面直线相矛盾 答案C 3 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合A 0B 1C 2D 3解析经过不共线的三点可以确定一个平面 不正确 两条平行线可以确定一个平面 正确 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面 正确 命题 中没有说明三个交点是否共线 不正确 答案C 4 2014 广东卷 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 A l1 l4B l1 l4C l1与l4既不垂直也不平行D l1与l4的位置关系不确定解析构造如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1 取l1为AD l2为AA1 l3为A1B1 当取l4为B1C1时 l1 l4 当取l4为BB1时 l1 l4 故排除A B C 选D 答案D 5 2015 成都诊断 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱A1B1 A1D1的中点 则A1B与EF所成角的大小为 考点一平面基本性质的应用 例1 1 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点A B C D共面 点A B C E共面 则A B C D E共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0B 1C 2D 3 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P Q R分别是AB AD B1C1的中点 那么正方体的过P Q R的截面图形是 A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形解析 1 正确 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 不正确 从条件看出两平面有三个公共点A B C 但是若A B C共线 则结论不正确 不正确 共面不具有传递性 不正确 因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上 如空间四边形 2 如图所示 作RG PQ交C1D1于G 连接QP并延长与CB延长线交于M 且QP反向延长线与CD延长线交于N 连接MR交BB1于E 连接PE 则PE RE为截面与正方体的交线 同理连接NG交DD1于F 连接QF FG 则QF FG为截面与正方体的交线 截面为六边形PQFGRE 答案 1 B 2 D 规律方法 1 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理2及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公理3是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言 符号语言 图形语言来表示公理 2 画几何体的截面 关键是画截面与几何体各面的交线 此交线只需两个公共点即可确定 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件 可以更快地确定交线的位置 训练1 如图所示是正方体和正四面体 P Q R S分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形的序号是 解析可证 中的四边形PQRS为梯形 中 如图所示 取A1A和BC的中点分别为M N 可证明PMQNRS为平面图形 且PMQNRS为正六边形 中 可证四边形PQRS为平行四边形 中 可证Q点所在棱与面PRS平行 因此 P Q R S四点不共面 答案 考点二空间两条直线的位置关系 例2 如图是正四面体的平面展开图 G H M N分别为DE BE EF EC的中点 在这个正四面体中 GH与EF平行 BD与MN为异面直线 GH与MN成60 角 DE与MN垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析把正四面体的平面展开图还原 如图所示 GH与EF为异面直线 BD与MN为异面直线 GH与MN成60 角 DE MN 答案 规律方法空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 训练2 1 2014 余姚模拟 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是BC1 CD1的中点 则下列说法错误的是 A MN与CC1垂直B MN与AC垂直C MN与BD平行D MN与A1B1平行 2 在图中 G H M N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析 1 如图 连接C1D BD AC 在 C1DB中 MN BD 故C正确 CC1 平面ABCD CC1 BD MN与CC1垂直 故A正确 AC BD MN BD MN与AC垂直 故B正确 A1B1与BD异面 MN BD MN与A1B1不可能平行 故D错误 选D 2 图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点共面 但M 面GHN 因此直线GH与MN异面 图 中 连接MG GM HN 因此GH与MN共面 图 中 G M N共面 但H 面GMN 因此GH与MN异面 所以在图 中GH与MN异面 答案 1 D 2 考点三求异面直线所成的角 例3 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为2的菱形 DAB 60 对角线AC与BD交于点O PO 平面ABCD PB与平面ABCD所成角为60 1 求四棱锥的体积 2 若E是PB的中点 求异面直线DE与PA所成角的余弦值 解 1 在四棱锥P ABCD中 PO 面ABCD PBO是PB与面ABCD所成的角 即 PBO 60 在Rt ABO中 AB 2 OAB 30 BO AB sin30 1 PO 面ABCD OB 面ABCD PO OB 2 取AB的中点F 连接EF DF E为PB中点 EF PA DEF为异面直线DE与PA所成角 或其补角 规律方法求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 训练3 2014 潍坊一模 已知在三棱锥A BCD中 AB CD 且点M N分别是BC AD的中点 1 若直线AB与CD所成的角为60 则直线AB和MN所成的角为 2 若直线AB CD 则直线AB与MN所成的角为 所以 MPN 或其补角 为AB与CD所成的角 则 MPN 60 或 MPN 120 若 MPN 60 因为PM AB 所以 PMN 或其补角 是AB与MN所成的角 又因为AB CD 所以PM PN 则 PMN是等边三角形 所以 PMN 60 即AB与MN所成的角为60 若 MPN 120 则易知 PMN是等腰三角形 所以 PMN 30 即AB与MN所成的角为30 综上直线AB和MN所成的角为60 或30 法二由AB CD 可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1 C1CD1D中进行考虑 如图 由M N分别是BC AD的中点 所以MN AA1 即 BAA1 或其补角 为AB与MN所成的角 连接A1B1交AB于O 所以A1B1 CD 即 AOA1 或其补角 为AB与CD所成的角 所以 AOA1 60 或120 由矩形AA1BB1的性质可得 BAA1 60 或30 所以直线AB和MN所成的角为60 或30 由于AB CD 所以 MPN 90 又AB CD 所以PM PN 从而 PMN 45 即AB与MN所成的角为45 答案 1 60 或30 2 45 思想方法 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线 然后证明其他点都在这条直线上 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往可以选在其中一条直线上 线面的端点或中点 利用三角形求解 易错防范 1 正确理解异面直线 不同在任何一个平面内 的含义 不要理解成 不在同一个平面内 2 不共线的三点确定一个平面 一定不能丢掉 不共线 条件 4 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时 容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角 也可能等于其补角