高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念课件 新人教版选修2-2.ppt

1 5定积分的概念 第一章导数及其应用 1 了解定积分的概念 2 理解定积分的几何意义 3 通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程 了解 以直代曲 以不变代变 的思想 4 能用定积分的定义求简单的定积分 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 答案 y f x 1 曲边梯形的面积 1 曲边梯形 由直线x a x b a b y 0和曲线所围成的图形称为曲边梯形 如图 所示 答案 小曲边梯形 2 求曲边梯形面积的方法把区间 a b 分成许多小区间 进而把曲边梯形拆分为一些 对每个 以直代曲 即用的面积近似代替的面积 得到每个小曲边梯形面积的 对这些近似值 就得到曲边梯形面积的 如图 所示 小曲边梯形 小曲边梯形 矩形 近似值 求和 近似值 3 求曲边梯形面积的步骤 2 求变速直线运动的 位移 路程如果物体做变速直线运动 速度函数v v t 那么也可以采用 的方法 求出它在a t b内所作的位移s 答案 分割 近似代替 求和 取极限 分割 近似代替 求和 取极限 思考 1 如何计算下列两图形的面积 答案 直接利用梯形面积公式求解 转化为三角形和梯形求解 答案 答案 2 求曲边梯形面积时 对曲边梯形进行 以直代曲 怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差 答案为了减小近似代替的误差 需要先分割再分别对每个小曲边梯形 以直代曲 而且分割的曲边梯形数目越多 得到的面积的误差越小 知识点二定积分的概念 答案 定积分 答案 积分下限 其中a与b分别叫做与 区间 a b 叫做 函数f x 叫做 x叫做 f x dx叫做 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 思考 1 如何理解定积分 答案定积分是一个数值 极限值 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上 下限 而与积分变量用什么字母表示无关 不同的积分区间 定积分的积分限不同 所得的值也不同 答案 答案 分割 将区间 a b n等分 记第i个小区间为 xi 1 xi 区间长度 x xi xi 1 答案 知识点三定积分的几何意义与性质 1 定积分的几何意义由直线x a x b a b x轴及一条曲线y f x 所围成的曲边梯形的面积设为S 则有 答案 答案 答案 返回 答案 题型探究重点突破 题型一求图形的面积问题 解析答案 反思与感悟 例1用定积分的定义求曲线y x3 1与x 0 x 1及y 0所围成的曲边梯形的面积 解析答案 反思与感悟 过各区间端点作x轴的垂线 从而得到n个小曲边梯形 它们的面积分别记为 S1 S2 Si Sn 解析答案 反思与感悟 求和 Sn S1 S2 Sn 反思与感悟 反思与感悟 对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积 但这仅是近似值 分割得越细 近似程度就会越高 这就是 以直代曲 方法的应用 跟踪训练1求由直线x 0 x 1 y 0和曲线y x x 1 围成的图形的面积 解析答案 解析答案 解 1 分割 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 解析答案 过各分点作x轴的垂线 把曲边梯形分成n个小曲边梯形 它们的面积分别记作 S1 S2 Si Sn 2 近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积 为了计算方便取xi为小区间的左端点 解析答案 3 求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值 所以n个小矩形面积的和 就是曲边梯形面积S的近似值 即 4 取极限 当分点数目愈多 即 x愈小时 和式 的值就愈接近曲边梯形的面积S 因此 当n 即 x 0时 和式 的逼近值就是所求曲边梯形的面积 题型二求汽车行驶的路程 解析答案 例2汽车以速度v做匀速直线运动时 经过时间t所行驶的路程为s vt 如果汽车做变速直线运动 在时刻t的速度为v t t2 2 v的单位 km h t的单位 h 那么它在1 t 2这段时间内行驶的路程s 单位 km 是多少 反思与感悟 解将区间 1 2 等分成n个小区间 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 利用类比转化的思想 把求汽车行驶的路程转化为求时间 速度坐标系中的曲边梯形的面积 再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2一物体自200m高空自由落下 求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离 g 9 8m s2 解析答案 解自由落体的下落速度为v t gt 以左端点函数值作为该区间的速度 故该物体在下落后第3s至第6s之间的距离是132 3m 题型三由定积分的几何意义求定积分 解析答案 例3利用定积分的几何意义 求 解析答案 反思与感悟 解在坐标平面上 f x 2x 1为一条直线 x 0 x 3围成的直角梯形OABC的面积 如图 2 所示 利用定积分的几何意义求定积分 关键是准确确定被积函数的图象 以及积分区间 正确利用相关的几何知识求面积 求不规则图形的面积常用分割法 注意分割点的选取 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3利用定积分的几何意义计算 解如图 所示 定积分为图中阴影部分面积A减去B 解析答案 解如图 所示 定积分为图中阴影部分面积 解析答案 因对定积分的几何意义理解不准确致误 例4如图所示 f x 在区间 a b 上 则阴影部分的面积S为 返回 易错易混 防范措施 错解错选A或B或C 错因分析错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻 若在 a c 上 f x 0 在 c b 上 f x 0 故选D 防范措施 定积分的几何意义是在x轴上半部计算的面积取正值 在x轴下半部计算的面积取负值 返回 防范措施 当堂检测 1 2 3 4 1 把区间 1 3 n等分 所得n个小区间的长度均为 解析区间 1 3 的长度为2 B 解析答案 1 2 3 4 A 与f x 和积分区间 a b 有关 与 i的取法无关B 与f x 有关 与区间 a b 以及 i的取法无关C 与f x 以及 i的取法有关 与区间 a b 无关D 与f x 积分区间 a b 和 i的取法都有关 A 答案 1 2 3 4 解析答案 1 02 1 2 3 4 4 根据定积分的几何意义 用不等号连接下列式子 答案 课堂小结 1 求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 1 分割 n等分区间 a b 2 近似代替 取点 i xi 1 xi 也可以用较大的矩形来代替曲边梯形 为了计算方便 可以取区间上的一些特殊点 如区间的端点 或中点 返回 3 可以利用 分割 近似代替 求和 取极限 求定积分 对于一些特殊函数 也可以利用几何意义求定积分 4 定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算