高中数学 2.3.2平面向量基本定理课件 北师大版必修4.ppt

3 2平面向量基本定理 平面向量基本定理与基底 1 平面向量基本定理 2 基底 成为基底的条件 向量e1 e2 不共线 任一 1e1 2e2 不共线 1 判一判 正确的打 错误的打 1 平面内的两个向量e1 e2 对于任一向量a 都有a 1e1 2e2 1 2 R 2 基底中可以含有零向量 3 向量e1 e2 e1 e2可以作为一组基底 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 在平面向量基本定理中 若a 0 则 1 2 2 在平面向量基本定理中 若a e1 则 2 0 若a e2 则 1 3 当向量a与b共线时 这两向量的夹角 解析 1 1 错误 当e1 e2共线时不一定成立 2 错误 零向量与任意向量共线 因此基底中不能含有零向量 3 错误 因为e1 e2 e1 e2 两向量共线 所以不能作为一组基底 答案 1 2 3 2 1 当a 0 即 1e1 2e2 0时 因为0 e1 0 e2 0 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 答案 0 2 当a e1时 a e1 1e1 2e2 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 同理可知当a e2时 1 0 答案 0 3 当向量a与b共线 即两向量同向时夹角 0 反向时夹角 180 答案 0 或180 要点探究 知识点平面向量基本定理对平面向量基本定理的理解 1 基底是同一平面内的两个不共线向量 2 对给定的向量a 实数 1 2相对于基底e1 e2是唯一的 但是向量a对于不同的基底可以有不同的表示 即对应不同的实数 1 2 3 平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构 即同一平面内任意三个不共线向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合 根据需要 只要选取的两向量不共线都可作为基底 知识拓展 直线方程的向量表示式如图 点P在l上 所以存在t使所以 反过来 设点P满足则即P在l上 所以满足的点P一定在l上 微思考 平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系 提示 平面向量基本定理体现了向量的线性运算 即用两个不共线向量的线性运算表示平面内任一向量 即时练 1 如图所示 向量可用向量e1 e2表示为 2 已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底 那么下面四组向量中能作为一组基底的是 e1和e1 e2 e1 e2和e1 e2 e1 2e2和4e2 2e1 e1和e1 e2 3 平行四边形ABCD中 点E是BC的中点 用向量作为基底表示向量 解析 1 由图可知 4e1 3e2 答案 4e1 3e22 由向量加法的平行四边形法则可知向量e1 e1 e2 e1 e2两两不共线 而4e2 2e1 2 e1 2e2 所以e1 2e2与4e2 2e1共线 故可以构成一组基底的是e1和e1 e2 e1 e2和e1 e2 e1和e1 e2 答案 3 答案 题型示范 类型一向量的分解与作图 典例1 1 2013 广东高考 设a是已知的平面向量且a 0 关于向量a的分解 有如下四个命题 给定向量b 总存在向量c 使a b c 给定向量b和c 总存在实数 和 使a b c 给定单位向量b和正数 总存在单位向量c和实数 使a b c 给定正数 和 总存在单位向量b和单位向量c 使a b c 上述命题中的向量b c和a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 2 如图所示 已知向量e1 e2 a e1 2e2 b 2e1 e2 作出向量a b 解题探究 1 题 1 中a分解的依据是什么 2 题 2 中两个向量的差能否直接用向量减法法则作图 探究提示 1 a向量的分解的依据是平面向量基本定理 2 不能 需先作a b 再利用向量运算法则作出a b 自主解答 1 选B 利用向量加法的三角形法则 易得 是真命题 利用平面向量基本定理 易得 是真命题 以a的终点为圆心 作半径为 的圆 这个圆必须和向量 b有交点 这个不一定能满足 是假命题 由向量加法的三角形法则 不共线两边的和大于第三边 即 b c a 而给定的 和 不一定满足此条件 所以 是假命题 2 根据题意 可先作a b 再作a b 作法 如图所示 任取一点O 作 作平行四边形OAEC 连接OF OE 则 连接EF 则就是所求的向量a b 方法技巧 平面向量基本定理在作图中的应用 1 利用向量共线定理画出与基向量共线的向量 2 利用向量的平行四边形法则合成待求向量 变式训练 如图 平面内有三个向量其中与的夹角为150 与的夹角为60 2 2 若 R 则 的值是 解析 过C分别作OA OB的平行线交OB OA于E D 则四边形EODC为平行四边形 在 COD中 OC COD 60 OCD EOC 90 所以OD 2OC 而OA 2 所以在 COE中 OC OCE 60 EOC 90 所以OE OCtan60 6 而OB 2 所以所以所以 3 所以 3 答案 3 补偿训练 如图所示 已知基向量a b 求作向量3a 2b 解析 作法 1 如图所示 在平面内任取一点O 作 2 作平行四边形OACB 连接OC 则就是求作的向量 类型二用基底表示向量 典例2 1 2014 商洛高一检测 如图 在平行四边形ABCD中 则 用a b表示 2 如图 已知梯形ABCD中 AB CD 且AB 2CD E F分别是DC AB的中点 设试用a b表示 解题探究 1 题 1 中向量与的关系是什么 2 题 2 中四边形AFCD是什么四边形 探究提示 1 2 四边形AFCD是平行四边形 自主解答 1 答案 2 因为DC AB AB 2DC E F分别是DC AB的中点 所以四边形AFCD为平行四边形 所以所以 延伸探究 本例 1 中 若其他条件不变 则 解析 答案 方法技巧 应用平面向量基本定理时的关注点 1 充分利用向量的加法 减法的法则 在平行四边形 三角形中确定向量的关系 2 应用数乘向量时特别注意线段的比例关系 如中点 三等分点等 3 一个重要结论 设a b是同一平面内的两个不共线的向量 若x1a y1b x2a y2b 则有 变式训练 如图所示 D E是 ABC中AB AC边的中点 M N分别是DE BC的中点 已知 a b 试用a b分别表示和 解题指南 因为D E是 ABC中AB AC边的中点 所以DEBC 故可表达 和在 ABC中 由向量的共线和三角形法则表达即可 解析 由三角形中位线定理 知DEBC 故即 a b a a b 误区警示 在利用向量加法的三角形法则表示向量时 容易将向量的方向弄反 解题时要特别注意 补偿训练 在平行四边形ABCD中 已知则 解析 选C 如图 在三角形ABE中 有其中所以故选C 规范解答 平面向量基本定理的综合应用 典例 12分 在 ABC中 AM AB 1 3 AN AC 1 4 BN与CM交于点E 用a b表示 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 未能设出 处的比例关系 从而无法表示出则会导致不得分 失分点2 处的表达式不准确导致 t值求错 考试时最多得5分 失分点3 未能根据向量表示的唯一性列出 处的方程组 导致无法求出参数 t的值 考试时最多得7分 悟题 提措施 导方向1 强化待定系数法在表示向量中的应用当图中某些点位置关系不明确时 应先设出系数关系 表示出向量后再确定系数 如本例中交点E的比例关系未知 需先设出后再求 2 向量表示的唯一性是确定参数的重要方法当a b不共线时 若xa yb ma nb 则x m y n 常用来确定相关参数的值 如本例中利用表示的唯一性求 t的值 类题试解 已知三角形OBC中 点A是BC的中点 D是OB上的点 且OD 2DB DC和OA交于点E 设 1 用a b表示向量 2 若求实数 的值 解析 1 因为A是BC的中点 所以因为所以所以所以 2 设因为又因为因为 2a b 故解得