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专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型 ；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型 ，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。【重点、难点剖析】 1函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换2函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质若函数满足f(ax)f(x)(a不等于0)，则其周期Tka(kZ)的绝对值3求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数4指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)的图象和性质，分0a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数yx的图象和性质，分幂指数0和0，即(x3)(x1)0，解得x1.故函数的定义域为(，3)(1，)(2)答案：D解析：f(1)lg 10，所以f(a)0.当a0时，则lg a0，a1；当a0时，则a30，a3.所以a3或1. 【方法技巧】1已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数ylogax(a0，a1)的真数x0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数ytan x中，xk(kZ)如果f(x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域2函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域题型 2、函数的图象及其应用【例2】（2018年全国III卷）函数的图像大致为A. A B. B C. C D. D【答案】D【解析】当时，排除A,B.,当时，,排除C，故正确答案选D.【变式探究】【2017课标1，文8】函数的部分图像大致为 A B C D 【答案】C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时， ，故排除D；当时， ，故排除A故选C【举一反三】【2017课标3，文7】函数的部分图像大致为（ ） A B D C D【答案】D【解析】当时， ，故排除A,C；当时， ，故排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函数f(x)=2x2e|x|在2,2上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除A、B 选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选D。【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用 【举一反三】(1)(2015四川卷)函数y的图象大致是()(2)函数yf(x)的图象如图所示，在区间a，b上可找到n(n2)个不同的数x1，x2，xn，使得，则n的取值范围是()A.3,4 B2,3,4C3,4,5 D2,3 (2)答案：B解析：表示(x1，f(x1)与原点连线的斜率；表示(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(xn，f(xn)与原点连线的斜率相等，而(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(xn，f(xn)在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选B.【方法技巧】1关于判断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值2关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f(x)g(x)解的个数可以转化为函数yf(x)与yg(x)交点的个数；(2)不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)解集为函数yf(x)位于yg(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围题型三、函数性质的综合应用例3、（2018年全国卷）若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。【变式探究】【2017天津，文6】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】C 【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即，本题选择C选项.【变式探究】【2016年高考北京文数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】，.【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性 【举一反三】(2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.答案：1解析： f(x)为偶函数， f(x)f(x)0恒成立， xln(x)xln(x)0恒成立， xln a0恒成立， ln a0，即a1.【变式探究】(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3B1 C1D3(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想求解此题的关键是用“x”代替“x”，得出f(x)g(x)x3x21.(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力【答案】(1)C(2)B【解析】(1)用“x”代替“x”，得f(x)g(x)(x)3(x)21，化简得f(x)g(x)x3x21，令x1，得f(1)g(1)1，故选C.(2)当x0时，f(x)又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x2a2时，f(x)maxa2，当x2a2时，令x3a2a2，得x4a2，又xR，f(x1)f(x)，可知4a2(2a2)1a，故选B.【方法技巧】函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题主要的解析：奇偶性主要转化方向是f(x)与f(x)的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f(x)f(xa)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题
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