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第二讲椭圆、双曲线、抛物线(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y=14x2的焦点到双曲线y2-x23=1的渐近线的距离为()A.12B.32C.1D.3【解析】选B.因为抛物线y=14x2的焦点为(0,1),双曲线y2-x23=1的渐近线的方程为y=33x,即x-3y=0,所以抛物线y=14x2的焦点到双曲线y2-x23=1的渐近线的距离为d=|-3|4=32.2.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为22,则实数m等于()A.2B.2或83C.2或6D.2或8【解析】选D.焦点在x轴时,a2=1m,b2=14,根据e=ca=22c2a2=12a2-b2a2=12b2a2=12,即1m=24m=2,焦点在y轴时,a2=14,b2=1m,即14=2mm=8,所以m等于2或8.3.设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,B为虚轴的上端点,若直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,则C的离心率为()A.2B.5+12C.5-1D.5-12【解析】选B.因为直线FB的斜率为-bc,双曲线C的一条渐近线的斜率为ba,又因为直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,所以-bcba=-1,所以c2-a2=b2=ac,两边都除以a2,得e2-e-1=0,因为e1,所以e=1+52.4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为F(22,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x26-y22=1D.x22-y26=1【解析】选D.由已知可得c=22,双曲线渐近线方程为y=bax,即aybx=0,a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圆心为(2,0),半径r=3,若双曲线渐近线与圆方程相切,则d=|2b|a2+b2=2|b|8=b2=3,所以b=6,所以b2=6,c2=8,a2=2,所以双曲线方程为x22-y26=1.5.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点P是抛物线C上一点,过点P作l的垂线,垂足为A,准线l与x轴的交点设为B,若BAF=30,且APF的面积为123,则以PF为直径的圆的标准方程为()A.(x-23)2+(y+3)2=12或(x-23)2+(y-3)2=12B.(x-3)2+(y+23)2=12或(x-3)2+(y-23)2=12C.(x-23)2+(y+3)2=8或(x-23)2+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y+23)2=8或(x-3)2+(y-23)2=8【解析】选A.作出辅助图形如图所示,因为BAF=30,故AFB=60=PAF,由抛物线的定义可知|PA|=|PF|,故APF为等边三角形,因为APF的面积为123,故|PF|=|PA|=|AF|=43,而|BF|=12|AF|=23=p,故点P的横坐标为|PA|-|BF|2=33,代入y2=43x中,解得y=6,故所求圆的标准方程为(x-23)2+(y3)2=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,若椭圆C上存在两点P,Q满足=2,则椭圆C的离心率的取值范围是_.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直线PF:y=k(x+c).因为P,Q满足=2,所以y1=-2y2.由y=k(x+c),b2x2+a2y2=a2b2,得(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,y1+y2=2kcb2b2+a2k2,y1y2=-b4k2b2+a2k2,由得y1=4kcb2b2+a2k2,y2=-2kcb2b2+a2k2,代入得b2+a2k2=8c28c2b2=a2-c29c2a2ca13,所以椭圆C的离心率的取值范围是13,1.答案:13,17.设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为_.【解析】由题意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,又由椭圆的定义知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,联立,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=43a,|AF1|=|BF1|=23a,所以SF2AB=12|AB|AF2|sin 60=43,所以a=3,|F1F2|=32|AB|=23,所以c=3,所以b2=a2-c2=6,所以椭圆C的方程为x29+y26=1.答案:x29+y26=18.已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N两点,且|MN|=8,则线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为_.【解析】分别过点M,N作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则|MP|+|NQ|=|MN|=8.线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为梯形MNQP的中位线的长度,即12(|MP|+|NQ|)=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A,B,|AB|=5,离心率为32.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点A作斜率为k(k0)的直线l与椭圆交于另外一点C,求ABC面积的最大值,并求此时直线l的方程.【解析】(1)由题意得ca=32,a2+b2=5,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3.所以,椭圆方程为x24+y2=1.(2)kAB=-12,设与AB平行的椭圆的切线方程为y=-12x+m,联立方程组得y=-12x+m,x2+4y2=4消去y得x2-2mx+2m2-2=0,=4m2-4(2m2-2)=0,解得m=2.因为k0,所以m=-2.代入到中得x=-2,代入到y=-12x-2得y=-22,所以当取C的坐标是-2,-22时,ABC的面积最大.此时C点到AB的距离为d=22+25,SABC=12522+25=2+1.此时,直线l的方程是y=2-12x-2+1.10.已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p0)上,点M到抛物线C的焦点F的距离为52.(1)求m的值.(2)若直线y=kx+2与x轴交于点N,与抛物线C交于A,B,且=2,求k的值.【解析】(1)由已知:1+p2=52,所以p=3.所以抛物线方程:y2=6x,把M(1,m)代入,得:m=6.(2)由已知k0,N-2k,0,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=6x,y=kx+2消去x,得:ky2-6y+12=0,由=36-48k0,得k34且k0,且y1+y2=6k,y1y2=12k,因为=2,所以-2k-x1,-y1=-4k-2x2,-2y2.即y1=2y2由联立可得:k=23,满足kb0)的左顶点为A(-2,0),且过点1,32.(1)求椭圆C的标准方程及离心率.(2)若直线l:x=ty-1交椭圆C于P(x1,y1),Q(x2,y2).求证:y1y2=-3t2+4;若APQ的面积为45,求t的值.【解析】(1)由题意得:a=2,又因为椭圆过点1,32,所以14+34b2=1,所以b=1.因为c2=a2-b2,所以c=3,所以离心率e=ca=32,所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)由题意,联立x=ty-1,x24+y2=1整理得:(t2+4)y-2ty-3=0,所以y1+y2=2tt2+4,y1y2=-3t2+4,所以y1y2=-3t2+4成立.由题意得,直线l:x=ty-1恒过(-1,0).设直线l与x轴交于点M,则M(-1,0),所以|AM|=1.因为|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=2tt2+42+12t2+4,所以SAPQ=12|AM|y1-y2|=122tt2+42+12t2+4=45,所以4t4+7t2-11=0,所以t2=1,或t2=-114(舍),所以t=1.(20分钟20分)1.(10分)双曲线x2-y2b2=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点(1)若l的倾斜角为2,F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程.(2)设b=3,若l的斜率存在,且(+)=0,求l的斜率.【解析】(1)方法一:设A(xA,yA).由题意,F2(c,0),c=1+b2,yA2=b2(c2-1)=b4,因为F1AB是等边三角形,所以2c=3|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故双曲线的渐近线方程为y=2x.方法二:由题可知A(c,b2),因为F1AB是等边三角形,所以tan 30=b22c=33.即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故双曲线的渐近线方程为y=2x.(2)由已知,b=3,所以c2=1+b2=4,所以F1(-2,0),F2(2,0).由题意可得,直线l的方程为y=k(x-2),显然k0.由x2-y23=1,y=k(x-2)得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因为l与双曲线交于两点,所以k2-30,且=36(1+k2)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3.方法一:设AB的中点为M(xM,yM).由(+)=0,即=0,知F1MAB,故kF1Mk=-1.而xM=x1+x22=2k2k2-3,yM=k(xM-2)=6kk2-3,kF1M=3k2k2-3,所以3k2k2-3k=-1,得k2=35,显然符合题意,故l的斜率为155.方法二:因为=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),=(x2-x1,y2-y1)由(+)=0得(x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0,即20k2=12 所以k2=35,显然符合题意,故l的斜率为155.2.(10分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为4,焦距为22.(1)求椭圆C的方程.(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.设直线PM,QM的斜率分别为k,k,证明kk为定值.求直线AB的斜率的最小值.【解题指南】(1)由长轴长为4,焦距为22,可得a=2,c=2,方程易得.(2)设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k,它们之比易得;借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键.【解析】(1)由题意a=2,c=2,所以b2=2,所以椭圆方程为x24+y22=1.(2)由题意,设Pp,2m02m2,0p2,则Q(p,-2m),直线PA的斜率 k=mp=m4-8m2=14m2-8,其中0m20.将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得,2K2+1x2+4Kmx+2m2-4=0.设Ax1,y1,Bx2,y2,直线PA:y=kx+m,直线QB:y=-3kx+m,分别令K=k,K=-3k可得:x1p=2m2-42k2+1,x2p=2m2-418k2+1,所以,kAB=y1-y2x1-x2=kx1+m-3kx2+mx1-x2=kx1p+3kx2px1p-x2p=k2m2-42k2+1+3k2m2-418k2+12m2-42k2+1-2m2-418k2+1=146k+1k62(当且仅当k=66时取等号).所以,直线AB的斜率的最小值为66.
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