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第一讲空间几何体的三视图、表面积及体积(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图,意在考查三视图与直观图的转化,培养学生的空间想象能力,体现了直观想象的数学素养.【解析】选C.将四棱锥三视图转化为直观图,如图,侧面共有4个三角形,即PAB,PBC,PCD,PAD,由已知,PD平面ABCD,又AD平面ABCD,所以PDAD,同理PDCD,PDAB,所以PCD,PAD是直角三角形.因为ABAD,PDAB,PD,AD平面PAD,PDAD=D,所以AB平面PAD,又PA平面PAD所以ABPA,PAB是直角三角形.因为AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA=PD2+AD2=22,PC=PD2+CD2=22PB=PA2+AB2=3,在梯形ABCD中,易知BC=5,PBC三条边长为22,3,5,PBC不是直角三角形.综上,侧面中直角三角形个数为3.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.1603B.32C.323D.3523【解析】选A.由三视图可知, 该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的,所以该几何体的体积V=12448-1312444=1603.3.(2018湖南五市十校联考)如图,小方格是边长为1的正方形,一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.45+96B.(25+6)+96C.(45+4)+64D.(45+4)+96【解析】选D由三视图可知,该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体,正方体的棱长为4,圆锥的高为4,底面半径为2,所以该几何体的表面积为S=642+22+242+22=(45+4)+96.4.一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧(左)视图可能为()【解析】选D.由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD平面BCD,故选D.5.如图是一正方体被过棱的中点M,N和顶点A,D,C1的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的正(主)视图为()【解析】选B.还原正方体,如图所示,由题意可知,该几何体的正(主)视图是选项B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若一个几何体的表面积和体积相同,则称这个几何体为“同积几何体”.已知某几何体为“同积几何体”,其三视图如图所示,则a=_.【解析】根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱,如图所示,可得其体积为12(a+2a)aa=32a3,其表面积为12(2a+a)a2+a2+a2+2aa+2aa=7a2+2a2,所以7a2+2a2=32a3,解得a=14+223.答案:14+2237.(2017全国卷)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_.【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,由题意得,ODBC,OG=36BC,设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x,SABC=23x3x12=33x2,则V=13SABCh=3x225-10x=325x4-10x5,令fx=25x4-10x5,x0,52,fx=100x3-50x4,令fx0,即x4-2x30,x2,则fxf2=80,则V380=415,所以体积最大值为415 cm 3.答案:415 cm 38.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C侧面ABB1A1,AC=AA1=2AB,AA1C1 =60,ABAA1,H为CC1的中点,D为BB1的中点.若AB=2,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为_.【解析】连接AC1,可知ACC1为正三角形,又H为棱CC1的中点,所以AHCC1,从而AHAA1,又平面AA1C1C平面ABB1A1,平面AA1C1C平面ABB1A1=AA1,AH平面AA1C1C, 所以AH平面ABB1A1,又A1D平面ABB1A1,所以AHA1D.因为AB=2.AC=AA1=2AB,所以AC=AA1=2,DB1=1,DB1B1A1=12=A1B1AA1,又DB1A1=B1A1A=90,所以A1DB1AB1A1,所以B1AA1=DA1B1,又DA1B1+AA1D=90,所以B1AA1+AA1D=90,所以A1DAB1,由及AB1AH=A,可得A1D平面AB1H.取AA1的中点M,连接C1M,则C1MAH,所以C1M平面ABB1A1,所以VC1-AB1A1=13SAB1A1C1M=1323=63,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3VC1-AB1A1=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,边长为2的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中ABCD,ABBC,DC=BC=12AB=1,点M在线段EC上.(1)证明:平面BDM平面ADEF.(2)判断点M的位置,使得三棱锥B -CDM的体积为218.【解析】(1)因为DC=BC=1,DCBC,所以BD=2.因为AD=2,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以ADB=90,所以ADBD,因为平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD.BD平面ABCD,所以BD平面ADEF,因为BD平面BDM,所以平面BDM平面ADEF.(2)如图,在平面DMC内,过M作MNDC,垂足为点N,又因为EDAD,平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,所以ED平面ABCD,所以EDCD,所以MNED,因为ED平面ABCD,所以MN平面ABCD.因为VB-CDM=VM-CDB=13MNSBDC=218,所以131211MN=218,所以MN=23.所以MNED=CMCE=232=13,所以CM=13CE,所以点M在线段CE的三等分点且靠近C处.10.如图,过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开,得到截面BDFE.(1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF,并说明理由.(2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,试证明:平面BDFE平面A1C1CA.【解析】(1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1,A1B1于F,E两点,则EF即为所作的锯线.理由如下:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱BB1DD1,且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1BD.又平面ABCD平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD,平面BDFE平面A1B1C1D1=EF,所以EFBD,从而EFB1D1.(2)由于四边形BB1D1D是矩形,所以BDB1B.又A1AB1B,所以BDA1A.又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,所以BDAC.因为ACA1A=A,所以BD平面A1C1CA.因为BD平面BDFE,所以平面BDFE平面A1C1CA.11.如图,平面PAD平面ABCD,ABCD是边长为2的菱形,PA=PD,且APD=90,DAB=60.(1)若线段PC上存在一点M,使得直线PA平面MBD,试确定M点的位置,并给出证明.(2)在第(1)问的条件下,求三棱锥C - DMB的体积.【解析】(1)M为线段PC中点.证明:取线段PC中点M,连接MD,MB,连接AC,BD相交于O点,连接OM,因为ABCD为菱形,AC交BD于O点,所以O为AC中点,又M为PC中点,所以OMPA,又OM平面MBD,PA平面MBD,所以PA平面MBD.(2)因为PA=PD,取AD的中点N,连接PN,所以PNAD,又平面PAD平面ABCD,所以PN平面ABCD,因为APD=90,AD=2,所以PN=12AD=1,又M为PC中点,所以M到平面ABCD的距离hM=12PN=12.因为ABCD是边长为2的菱形,DAB=60,所以SBCD=122232=3,所以VC-DMB=VM-BCD=13SBCDhM=13312=36.(20分钟20分)1.(10分)如图所示,平行四边形ABCD中,DAB=60,AB=2,AD=4.将CBD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.(1)求证:ABDE.(2)求三棱锥E-ABD的侧面积和体积.【解析】(1)在ABD中,因为AB=2,AD=4,DAB=60,所以BD=AB2+AD2-2ABADcosDAB=23,所以AB2+BD2=AD2,所以ABBD.又平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,AB平面ABD,所以AB平面EBD.又DE平面EBD,所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因为CDAB,所以CDBD,从而DEBD.在RtDBE中,因为DB=23,DE=DC=AB=2,所以SEDB=12DBDE=23.因为AB平面EBD,BE平面EBD,所以ABBE.因为BE=BC=AD=4,所以SEAB=12ABBE=4.因为DEBD,平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,所以DE平面ABD,而AD平面ABD,所以DEAD,故SEAD=12ADDE=4.故三棱锥E-ABD的侧面积S=SEDB+SEAB+SEAD=8+23.因为DE平面ABD,且SABD=SEBD =23,DE=2,所以V三棱锥E-ABD=13SABDDE=13232=433.2.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PD平面ABCD,点D1为棱PD的中点,过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA,PB,PC相交于点A1,B1,C1,BAD=60.(1)求证:B1为PB的中点.(2)已知棱锥的高为3,且AB=2,AC,BD的交点为O,连接B1O.求三棱锥B1-ABO外接球的体积.【解析】(1)连接B1D1.由题意知,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面PBD平面ABCD=BD,平面PBD平面A1B1C1D1=B1D1,则BDB1D1,即B1D1为PBD的中位线,即B1为PB的中点.(2)由(1)可得,OB1=32,AO=3,BO=1,且OAOB,OAOB1,OBOB1,即三棱锥B1-ABO的外接球为以OA,OB,OB1为长、宽、高的长方体的外接球,则该长方体的体对角线长d=12+(3)2+322=52,即外接球半径R=54.则三棱锥B1-ABO外接球的体积V=43R3=43543=12548.
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