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专题3.3 二次函数一、单选题1已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=t2+24t+1则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【来源】江苏省连云港市xx年中考数学试题【答案】D点睛：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质2二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【来源】广东省深圳市xx年中考数学试题【答案】C【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c0，所以abc0；由对称轴为x=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x轴下方得到y=a-b+c0，结合b=-2a可得 3a+c0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c0，所以abc0，故A选项错误；对称轴x=1，b=-2a，即2a+b=0，故B选项错误；当x=-1时， y=a-b+c0，又b=-2a， 3a+c0，故C选项正确；抛物线的顶点为（1，3），的解为x1=x2=1，即方程有两个相等的实数根，故D选项错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，当a0，开口向上，函数有最小值，a0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当=b2-4ac0，抛物线与x轴有两个交点 3关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3【来源】四川省成都市xx年中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题详解：y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答4已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6【来源】山东省潍坊市xx年中考数学试题【答案】B【解析】分析：分h2、2h5和h5三种情况考虑：当h2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2h5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论综上即可得出结论详解：如图，当h2时，有-（2-h）2=-1， 解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2h5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h5时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6综上所述：h的值为1或6故选B点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h2、2h5和h5三种情况求出h值是解题的关键 5已知抛物线（，为常数，）经过点，其对称轴在轴右侧，有下列结论：抛物线经过点；方程有两个不相等的实数根；.其中，正确结论的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【来源】天津市xx年中考数学试题【答案】C点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中6如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（1，0），则二次函数的最大值为a+b+c；ab+c0；b24ac0；当y0时，1x3，其中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【来源】山东省滨州市xx年中考数学试题【答案】B【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案详解：二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故正确；当x=1时，ab+c=0，故错误；图象与x轴有2个交点，故b24ac0，故错误；图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（1，0），A（3，0），故当y0时，1x3，故正确故选B点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键7如图是二次函数（，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：；（为实数）；当时，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【来源】xx年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题【答案】A【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断；由对称轴为直线x=1可判断；由x=3时 可判断；根据函数在时取得最大值，可以判断，由-1x3时，函数图象位于x轴上方可判断【解答】抛物线的开口向下，a0，抛物线的对称轴 可知： 故正确；抛物线的对称轴 b=2a，即2a+b=0，故正确；由图象知当x=3时， 把b=2a代入得： 故错误；故正确；由图象可知，当1x3时，函数图象有些部分位于x轴上方，故错误. 故选A.【点评】考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，不等式等知识点，难度适中，属于高频考点.8如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【来源】山东省德州市xx年中考数学试题【答案】B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可详解：A由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向下故选项错误； B由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向上，对称轴x=0故选项正确； C由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向上，对称轴x=0，和x轴的正半轴相交故选项错误； D由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向上故选项错误 故选B点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=axa在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等9给出下列函数：y=3x+2；y=；y=2x2；y=3x，上述函数中符合条作“当x1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. B. C. D. 【来源】山东省德州市xx年中考数学试题【答案】B点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键10若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B. C. D. 【来源】浙江省义乌市xx年中考数学试题【答案】B【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论详解：某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，得到的新抛物线过点（-3，0）故选：B点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键11二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【来源】山东省泰安市xx年中考数学试题【答案】C【解析】分析：首先利用二次函数图象得出a，b的取值范围，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案详解：由二次函数开口向上可得：a0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b0，故反比例函数y=图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限 故选C点睛：本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b的取值范围是解题的关键二、填空题12如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是_【来源】湖北省孝感市xx年中考数学试题【答案】，【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解详解：抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），方程组的解为，即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1故答案为x1=-2，x2=1点睛：本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题13已知抛物线y=x2+2x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为_【来源】山东省淄博市xx年中考数学试题【答案】2【解析】分析：先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论详解：如图，B，C是线段AD的三等分点，AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当y=0时，x2+2x3=0，（x1）（x+3）=0，x1=1，x2=3，A（3，0），B（1，0），AB=3+1=4，AC=BC=2，m=2，故答案为：2点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键 14如图，在中，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为_【来源】山东省泰安市xx年中考数学试题【答案】【解析】分析：由=，CD=x，得到DE=，CE=，则BE=10，由DEB的面积S等于BDE面积的一半，即可得出结论点睛：本题考查了动点问题的函数解析式，解题的关键是设法将BE与DE都用含有x的代数式表示三、解答题15如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k0）与y2=ax2+b（a0）的部分图象围成的封闭图形已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，3）（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得BDC与ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标【来源】江苏省连云港市xx年中考数学试题【答案】（1）y1=x2+1，y2=3x23；（2）存在，理由见解析；（3）（0，）或（，1）或（1，）或（，2）【解析】分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出MM=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，进而建立方程2m=4-4m2，即可得出结论；（3）先利用勾股定理求出AD=，同理：CD=，BC=，再分两种情况：如图1，当DBCDAE时，得出，进而求出DE=，即可得出E（0，-），再判断出DEFDAO，得出，求出DF=，EF=，再用面积法求出EM=，即可得出结论；如图2，当DBCADE时，得出，求出AE=，当E在直线AD左侧时，先利用勾股定理求出PA=，PO=，进而得出PE=，再判断出，即可得出点E坐标，当E在直线DA右侧时，即可得出结论（2）设M（m，-m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M（m，3m2-3）为第四象限的图形上一点，MM=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，由抛物线的对称性知，若有内接正方形，2m=4-4m2，m=或m=（舍），01，存在内接正方形，此时其边长为；（3）在RtAOD中，OA=1，OD=3，AD=，同理：CD=，在RtBOC中，OB=OC=1，BC=，如图1，当DBCDAE时，CDB=ADO，在y轴上存在E，由，DE=，D（0，-3），E（0，-），由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E使得DBCDAE，连接EE交DA于F点，作EMOD于M，连接ED，E，E关于DA对称，DF垂直平分EE，DEFDAO，DF=，EF=，SDEE=DEEM=EFDF=，EM=，DE=DE=，在RtDEM中，DM=，OM=1，E（，-1），如图2，当DBCADE时，有BDC=DAE，AE=，当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQAC于Q，BDC=DAE=ODA，PD=PA，设PD=n，PO=3-n，PA=n，在RtAOP中，PA2=OA2+OP2，n2=（3-n）2+1，n=，PA=，PO=，AE=，PE=，在AEQ中，OPEQ，OQ=，QE=2，E（-，-2），当E在直线DA右侧时，根据勾股定理得，AE=，AE=DAE=BDC，BDC=BDA，BDA=DAE，AEOD，E（1，-），综上，使得BDC与ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即：（0，-）或（，-1）或（1，-）或（-，-2）点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称性，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键16如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0a3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC.（1）求点A、B、D的坐标；（2）若AOD与BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.【来源】江苏省宿迁市xx年中考数学试卷【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D、O、C、B四点共圆. 【详解】（1）y=（x-a）（x-3）（0a3）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），A（a，0），B（3，0），当x=0时，y=3a，D（0，3a）；（2）A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.对称轴x=，AO=a，OD=3a，当x= 时，y=- ，C（，-），PB=3-=，PC=，当AODBPC时，即 ，解得：a= 3（舍去）；AODCPB，即 ，解得：a1=3（舍），a2= .综上所述：a的值为；（3）能；连接BD，取BD中点M，D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a），若点C也在此圆上，MC=MB， ，化简得：a4-14a2+45=0，（a2-5）（a2-9）=0，a2=5或a2=9，a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），0a3，a=，当a=时，D、O、C、B四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.17如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.若点P的横坐标为，求DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【来源】江苏省盐城市xx年中考数学试题【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）点D（ ）；PQD面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DEy轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出SDPQ=-2x2+6x+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出SDPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，抛物线的表达式为y=-x2+2x+3如图，过点D作DEy轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+），DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，SDPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8-20，当x=时，DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），DE=-x2+2x+3-2（t+1）x+t2+4t+3=-x2+2（t+2）x-t2-4t，SDPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2x-（t+2）2+8-20，当x=t+2时，DPQ的面积取最大值，最大值为8假设成立，即直尺在平移过程中，DPQ面积有最大值，面积的最大值为8点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出SDPQ=-2x2+6x+；（II）利用三角形的面积公式找出SDPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t 18如图，抛物线y=ax2+bx经过OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，），O为坐标原点（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且nm，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求BOC的大小及点C的坐标【来源】山东省淄博市xx年中考数学试题【答案】（1）；（2）t4；（3）BOC=60，C（，）【解析】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，）求出相关角度详解：（1）把点A（1，），点B（3，）分别代入y=ax2+bx得 ，解得y=（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=，当x时，y随x的增大而减小，当t4时，nm（3）如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作ADOC于点D，BEOC于点EACAD，BCBE，AD+BEAC+BE=AB，当OCAB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大A（1，），点B（3，）AOF=60，BOF=30AOB=90ABO=30当OCAB时，BOC=60，点C坐标为（，）点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性解答问题时注意线段最值问题的转化方法19已知顶点为的抛物线经过点，点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线与轴相交于点轴相交于点，抛物线与轴相交于点，在直线上有一点，若，求的面积； (3)如图2，点是折线上一点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿翻折得到，若点落在轴上，请直接写出点的坐标.【来源】广东省深圳市xx年中考数学试题【答案】(1) 抛物线的解析式为；(2)的面积为或；（3）Q点坐标为：（-，）或或.【解析】【分析】（1）把点代入，求得的值即可得； （2）由已知可求得直线的解析式为：，根据解析式易求，由，继而可求得的长，设点，可得关于t的方程，解方程求得t的值，根据对称性可知方程的解都满足条件，由此即可得；（3）若分点Q在AB要，点Q在BC上，且Q在y轴左侧， Q在BC上，且Q在y轴右侧，三种情况分别讨论即可得.【详解】（1）把点代入，解得：，抛物线的解析式为：，即；由对称性知；当时，也满足，都满足条件，的面积，的面积为或；（3）若Q在AB上运动，如图：设Q（a，-2a-1），则QN=-2a，NE=-a，QN1=-2a，易知QRN1N1SE，a=-，Q（-，）；若Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图：设NE=a，则N1E=a，易知RN1=2，SN1=1，QN1=QN=3，QR=，SE=，RtSEN1中，Q； 若Q在BC上运动，且Q在y轴右侧，如图：设NE=a，则N1E=a，易知RN1=2，SN1=1，QN1=QN=3，QR=，SE=，RtSEN1中，Q； 综上所述Q点坐标为：（-，）或或.【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练应用相关知识，运用分类思想是解题的关键.20如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点的坐标分别为，将绕点按顺时针分别旋转，得到，抛物线经过点，；抛物线经过点，.（1）点的坐标为_，点的坐标为_；抛物线的解析式为_，抛物线的解析式为_；（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点.若，求点的坐标；如图2，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式.当时，求的取值范围.【来源】湖北省孝感市xx年中考数学试题【答案】（1），：，：.（2）符合条件的点的坐标为或.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法求解析式；（2）根据P点关于直线CA或关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围详解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，则点C坐标为（-6，0），E点坐标为（2，0），分别利用待定系数法求C1解析式为：y=-x24x6，C2解析式为：y=-x22x+6（2）若点P在x轴上方，PCA=ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1设直线的解析式为：，解得，直线的解析式为：，过点作于点，则， ，当时，的最大值为21.，当时，；当时，；当时，的取值范围是.点睛：本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质21温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元设每天安排x人生产乙产品（1）根据信息填表产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲15乙（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值【来源】浙江省温州市xx年中考数学试卷【答案】（1）填表见解析；（2）每件乙产品可获得的利润是110元；（3）安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元.【解析】分析: （1）设每天安排 x 人生产乙产品，则每天安排（65-x）人生产甲产品，每天可生产甲产品2（65-x）件，每件乙产品可获利(130-2x)元；（2）每天生产甲产品可获得的利润为：152（65-x）元，每天生产乙产品可获得的利润x（130-2x）元，根据若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，列出方程，求解并检验即可得出答案；（3）设生产甲产品m人，每天生产乙产品可获得的利润x（130-2x）元，每天生产甲产品可获得的利润为：152m元,每天生产丙产品可获得的利润为：30（65-x-m）元，每天生产三种产品可获得的总利润W=每天生产甲产品可获得的利润+每天生产乙产品可获得的利润+每天生产丙产品可获得的利润，即可列出w与x之间的函数关系式，并配成顶点式，然后由每天甲、丙两种产品的产量相等得出2m=65-x-m，从而得出用含x的式子表示m，再根据x，m都是非负整数得出取x=26时，此时m=13，65-x-m=26，从而得出答案详解:（1）产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65-x2（65-x）15乙130-2x（2）解：由题意得152（65-x）=x（130-2x）+550x2-80x+700=0解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）130-2x=110（元）答：每件乙产品可获得的利润是110元。（3）解：设生产甲产品m人W=x（130-2x）+152m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+32002m=65-x-mm=x，m都是非负整数取x=26时，此时m=13，65-x-m=26，即当x=26时，W最大值=3198（元）答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元。点睛: 本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量 22如图，抛物线y=ax2+bx(a0) 交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B（1）求a，b的值；（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP设点P的横坐标为m ，OBP的面积为S，求K关于m 的函数表达式及K的范围【来源】浙江省温州市xx年中考数学试卷【答案】（1）a=-1；b=4；（2）K=-m+4，0K2 详解:（1）解 ;将x=2代入y=2x得y=4M（2，4）由题意得 ， .（2）解 ：如图，过点P作PHx轴于点H点P的横坐标为m，抛物线的函数表达式为y=-x2+4xPH=-m2+4mB（2，0），OB=2S= OBPH=2（-m2+4m）=-m2+4mK=-m+4由题意得A（4，0）M（2，4）2m4K随着m的增大而减小，点睛: 本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及一次函数的性质等知识点.23如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.【来源】四川省凉山州xx年中考数学试题【答案】（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.【解析】分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想详解: （1）已知抛物线经过,，解得，所求抛物线的解析式为.（2）,，可得旋转后点的坐标为.当时，由得，可知抛物线过点.将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点.平移后的抛物线解析式为：.（3）点在上，可设点坐标为，将配方得，其对称轴为.当时，如图，此时，点的坐标为.当时，如图，点睛：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用24如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与的面积相等，求点的坐标；（3）若在轴上有且只有一点，使，求的值.【来源】四川省成都市xx年中考数学试题【答案】（1）.；（2）点坐标为；.（3）.【解析】分析：（1）根据已知列出方程组求解即可；（2）作AMx轴，BNx轴，垂足分别为M，N，求出直线l的解析式，再分两种情况分别求出G点坐标即可；（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可详解：（1）由题可得：解得，.二次函数解析式为：.（2）作轴，轴，垂足分别为，则.，解得，.同理，.， （在下方），即，.，.在上方时，直线与关于对称.，.，.综上所述，点坐标为；.（3）由题意可得：.，即.，.设的中点为，点有且只有一个，以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点.轴，为的中点，.，即，.，.点睛：此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键25如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式【来源】山东省潍坊市xx年中考数学试题【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为,；（3）的解析式为或.详解:(1)由题意知，解得， 所以,抛物线y的解析式为；因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，所以抛物线的解析式为，即： ；(2)抛物线的对称轴为,设,已知，过点作轴于,则 ， ，当时，即，解得或；当时,得，无解；当时,得,解得;综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,.(3)设,则,因为关于对称,所以,情况一:当点在直线的左侧时, ,又因为以构成的三角形与全等,当且时,可求得,即点与点重合所以,设的解析式,则有解得,即的解析式为,当且时,无解,情况二:当点在直线右侧时, ,同理可得的解析式为,综上所述, 的解析式为或.点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a、c的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度 26在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），顶点为.（）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；（）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；（） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.【来源】天津市xx年中考数学试题【答案】（）；（）；（）或.详解： （）抛物线经过点，解得.抛物线的解析式为. ，顶点的坐标为.（）抛物线的顶点的坐标为.由点在轴正半轴上，点在轴下方，知点在第四象限.过点作轴于点，则.可知，即，解得，.当时，点不在第四象限，舍去.抛物线解析式为.（）由 可知，当时，无论取何值，都等于4.得点的坐标为.过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，则.，. ，.，.可得点的坐标为或.当点的坐标为时，可得直线的解析式为.点在直线上，.解得，.当时，点与点重合，不符合题意，.当点的坐标为时，可得直线的解析式为.点在直线上， .解得（舍），.综上，或.故抛物线解析式为或.点睛：这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.27如图，抛物线y=ax2+bx（a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上设A（t，0），当t=2时，AD=4（1）求抛物线的函数表达式（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离【来源】浙江省金华市xx年中考数学试题【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2+x；（2）当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位【解析】分析：（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10-2t，再由x=t时AD=-t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据ABCD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是OBD中位线，据此可得详解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x-10），当t=2时，AD=4，点D的坐标为（2，4），将点D坐标代入解析式得-16a=4，解得：a=-，抛物线的函数表达式为y=-x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，AB=10-2t，当x=t时，AD=-t2+t，矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2（10-2t）+（-t2+t）=-t2+t+20=-（t-1）2+，-0，当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点28如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.【来源】贵州省安顺市xx年中考数学试题【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.【解析】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标详解：（1）依题意得：，解得：，抛物线的解析式为.对称轴为，且抛物线经过，把、分别代入直线，得，解之得：，直线的解析式为.（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.（3）设，又，若点为直角顶点，则，即：解得：，若点为直角顶点，则，即：解得：，若点为直角顶点，则，即：解得：，.综上所述的坐标为或或或.点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题29在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=1（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标【来源】四川省宜宾市xx年中考数学试题【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2x+1（2）点P的坐标为（，1）（3）定点F的坐标为（2，1）详解：（1）抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2该抛物线经过点（4，1），1=4a，解得：a=，抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：，解得：，点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）点B（4，1），直线l为y=-1，点B的坐标为（4，-3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将A（1，）、B（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，直线AB的解析式为y=-x+，当y=-1时，有-x+=-1，解得：x=，点P的坐标为（，-1）（3）点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1M（m，n）为抛物线上一动点，n=m2-m+1，m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0m为任意值，定点F的坐标为（2，1）点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组30如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B（1）当x=2时，求P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合（4）当P的半径为1时，若P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图，求cosAPD的大小【来源】山东省滨州市xx年中考数学试题【答案】（1）；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x轴；（4） 【解析】分析：（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可详解：（1）由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，（2）同（1），由AP=PB，得到（x1）2+（y2）2=y2，整理得：y=（x1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图所示；（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；故答案为：点A；x轴；（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，交CD于E，设PE=a，则有EF=a+1，ED=，D坐标为（1+，a+1），代入抛物线解析式得：a+1=（1a2）+1，解得：a=2+或a=2（舍去），即PE=2+，在RtPED中，PE=2，PD=1，则cosAPD=2点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键31如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【来源】山东省滨州市
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