北京工业大学线性代数第五章第二节相似矩阵.ppt

1 第二节相似矩阵 一 相似矩阵的概念二 相似矩阵性质 2 一 相似矩阵的概念 问题 若有可逆矩阵P 使得P 1AP D 且Dm容易 设A是n阶方阵 如何求Am 求出 则 于是求Am就比较容易计算了 为了寻找较简单的 入下述概念 矩阵D 就得研究形如的矩阵 为此我们引 3 说明 反身性 对任意一个方阵A 都有A A 对称性 若A B 则B A 传递性 若A B B C 则A C 相似性为矩阵间的一种等价关系 即满足 设A B是两个n阶方阵 如果存在一 个可逆矩阵P 使得 则称矩阵A与B是相似的 记作A B 定义 4 二 相似矩阵的性质 性质 若A B 则R A R B 证 A B 阵 性质 若A B 则 证 A B 阵 5 性质 若A B 则A与B或者都可逆 或者都 不可逆 并且当它们可逆时 有A 1 B 1 证 A B 阵 A 1 B 1 6 若A B 则Am Bm m为正整数 证 Am Bm 性质4 A B 阵 7 若A B 则A与B有相同的特征多项 式和特征值 包括重数 证 A与B有相同的特征多项式和特征值 性质5 A B 阵 8 特征多项式相同的矩阵不一定相似 如 A与B有相同的特征值 但A与B不相似 因为A是单位阵 注 与单位阵相似的只能是单位阵 注 9 性质6 性质7 若A B 则A B有相同的迹 则 若A B B是对角阵 主对角元素是A的n个特征值 若B换成上下三角阵 结论也成立 则B的n个 10 设A B 且 求 R A 2E R B 2E 3 例1 A B 阵 解 即A 2E B 2E 而 11 设A B 且A的特征值为 求 A B有相同的特征值 从而B的特征值是 例2 A B 解 B 1的特征值是2 3 4 5 的特征值是1 2 3 4 则 12 设A B 且 求 a 2 b 0 例3 A B 解