力学量算符和量子力学公式的矩阵表.ppt

4 2力学量算符和量子力学公式的矩阵表示 一 力学量算符的矩阵表示二 量子力学公式的矩阵表示 4 2力学量算符和量子力学公式的矩阵表示 量子力学的三个基本要素是波函数 算符和薛定格方程 上一节讲了波函数的矩阵表示 为了保证理论体系的一致性 必须实现力学量算符与量子力学公式的矩阵表示 在量子力学中 将坐标表象下的表示称为波动力学方法 把任意力学量表象下的表示称为矩阵力学方法 在量子力学的历史上 上述两种表示方法几乎是同时发展起来的 后来 狄拉克证明了它们是等价的 一 力学量算符的矩阵表示 力学量满足的本征方程 算符满足 把波函数 分别向展开 代入到算符方程中 得 上式两端做运算 得 令 则 称为算符在表象中的矩阵元 算符在表象中的矩阵形式为 因为是厄米算符 所以它的矩阵元的复共轭为 即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭 或者 它表明矩阵是厄米矩阵 一般说来 实的对称矩阵都是厄米矩阵 特例 力学量算符在自身表象中的矩阵 算符在自身表象下是一个对称矩阵 并且本征值就是对角元素 它的阵迹就是全部本征值之和 说明 1 欲求力学量在表象下的矩阵表示 必须知道力学量的本征解 才能计算的矩阵元 2 不论在任何具体表象中 任何厄米算符的矩阵元一定是一个数值 故其可以在公式中随意移动位置 3 在不同的表象中 算符的矩阵元可能会不同 但是该算符的本征值不会改变 4 如果的本征值为连续谱 则 构成正交归一完备基矢组 算符满足 把波函数 分别向展开 代入到算符方程中 得 上式两端做运算 得 其中 算符的矩阵元 例1 坐标表象中的矩阵元为 其中 为变数 为本征值 例2 动量表象中的矩阵元为 或 例3 动量表象中的矩阵元为 例4 求一维谐振子中 坐标算符 动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵表示 解 坐标算符 动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵元分别为 所以 它们的矩阵表示分别是 二 量子力学公式的矩阵表示 1 算符方程 以下内容都是在表象下的表示 或简写为 2 本征方程 或简写为 方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零 因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的 所以 通常把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程 3 薛定格方程 式中 4 平均值公式 对同一个物理问题可以在不同的表象下处理 尽管在不同的表象下 波函数及算符的矩阵元是不同的 但最后所得到的物理结果 力学量的可能取值 取值几率和平均值 却都是一样的 因为我们所关心的只是有物理意义的结果 所以 允许对表象作选择 如果选取了一个合适的表象 将使问题得到简化 这也就是表象理论的价值所在 例5 已知力学量在某表象中的矩阵表示为 求它的本征值和归一化波函数 并将对角化 解 首先 求解本征值方程 下面求本征函数 把波函数归一化 同理 最后 把矩阵对角化