2019届高三数学3月一模试卷（文科附答案）

2019 届高三数学 3 月一模试卷（文科附答案）数 学（文）本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合 ， ，则下列关系中正确 的是A. PQ B. P QC. Q PD. 2. 设 是虚数单位，若复数 ，则复数 的模为A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如右图所示，该几何 体的体积为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 124. 若 ，则下列各式中一定正确的是A. B. C. D. 5. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了 一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入 的 ，依 次输入的 为 1，2，3，运行程序，输出的 的值为A. B. C. D. 6. 已知平面向量 ，则 是 与 同向的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知 ，则 A. B. C. D. 8. 当 时，下列关于函数 的图象与 的图象交点个数说法正确的是A. 当 时，有两个交点B. 当 时，没有交点C. 当 时，有且只有一个交点D. 当 时，有两个交点第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 在平面直角坐标系 中，角 和角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称.若 ，则 =_10. 若变量 满足约束条件 则 的最小值为_.11. 已知抛物线 的准线为 ， 与双曲线 的渐近线分别交于两点若 ，则 _ 12. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需的最少移动次数，已知 ，则解下 个圆环所需的最少移动次数 为_13. 已知集合 ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是_14. 在直角坐标系 中，点 和点 是单位圆 上两点，则 =_； 的最大值为 _ 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. （本小题 13 分）设数列 的前 项和为 ，若 且 （ ， ） （）求 ；（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 16.（本小题 13 分）在 中，角 的对边分别为 ， ， ， （）求 的值； （）求 的面积17. （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且四边形 为矩形 ， ， ， 分别为 的中点（）求证： 平面 ；（）求证：平面 平面 ；（）在线段 求一点 ，使得 ，并求出 的值18. （本小题 13 分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为:年龄（岁） 25, 30） 30, 35） 35, 40） 40, 45) 45, 50） 50, 55） 合计人数（人） 6 18 50 31 19 16 140经统计，该单位 35 岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如下：（）求 ；（）求该单位男女职工的比例；（）若从年龄在25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率19.（本小题 13 分）设函数 ， （）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；（）当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值20（本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，左顶点为 ，右顶点 在直线 : 上（）求椭圆 的方程；（）设点 是椭圆 上异于 ， 的点，直线 交直线 于点 ，当点 运动 时，判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明2019 年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B C D D C A B二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ；（答案不唯一） 14 ， 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题 13 分）解：（）因为 （ ， ）， 所以 （ ， ） 又因为 ，所以 （ ） 所以 （） ， 所以 16（本小题 13 分）解：()在 中， ， ， ， ，由正弦定理 得 ， （）由余弦定理 得 ， ，解得 或 （舍） 17（本小题 14 分）（）证明：在矩形 中， ， 分别为 的中点， ，且 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 （）证明：在矩形 中， ，又 ， ，又 平面 ， 又 平面 ， 平面 ，平面 平面 （）解：作 于 ， 平面 ，且 平面 ， ， 分别为 的中点， ， 平面 ， 平面 ， ， 矩形 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 在直角三角形 中， ， ，可求得 18（本小题 13 分）解：（）由男职工的年龄频率分布直方图可得： 所以 （）该单位25, 35)岁职工共 24 人，由于25, 35)岁男女职工人数相等，所以25, 35)岁的男职工共 12人 由（）知，男职工年龄在25, 35)岁的频率为 ，所以男职工共有 人， 所以女职工有 人， 所以男女比例为 （）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在25, 30)岁的频率为 由（）知，男职工共有 80 人，所以男职工年龄在25, 30) 岁的有 4 人，分别记为 又全体员工年龄在25, 30)岁的有 6 人，所以女职工年龄在25, 30)岁的有 2 人，分别记为 从年龄在 2530 岁的职工中随机抽取两人的结果共有 种情况， 其中一男一女的有 种情况， 所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为 19（本小题 13 分）解：（） ， ，由题设知 ，即 ，解得 经验证 满足题意。（）方法一： 令 ，即 ，则 ， （1）当 时，即 对于任意 有 ，故 在 单调递减； 对于任意 有 ，故 在 单调递增，因此当 时， 有最小值为 成立 （2）当 时，即 对于任意 有 ，故 在 单调递减， 所以 因为 的图象恒在 轴上方，所以 ，因为 ，所以 ，即 ， 综上， 的最大值为 方法二：由题设知，当 时， ， （1）当 时， 设 ，则 ， 故 在 单调递减，因此， 的最小值大于 ，所以 . （2）当 时， 成立 （3）当 时， ，因为 ，所以当 时 成立 综上， 的最大值为 20（本小题 14 分）解：（）依题可知 ， 因为 ，所以 故椭圆 的方程为 （）以 为直径的圆与直线 相切 证明如下：由题意可设直线 的方程为 则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ， 由 得 设点 的坐标为 ，则 所以 ， 因为点 坐标为 ， 当 时，点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，点 的坐标 为 此时以 为直径的圆 与直线 相切 当 时，直线 的斜率 所以直线 的方程为 ,即 故点 到直线 的距离（或直线 的方程为 ,故点 到直线 的距离）又因为 ，故以 为直径的圆与直线 相切综上得，当点 运动 时，以 为直径的圆与直线 相切 解法二:（）以 为直径的圆与直线 相切 证明如下: 设点 ,则 当 时,点 的坐标为 ，直线 的方程为 ， 点 的坐标为 ， 此时以 为直径的圆 与直线 相切， 当 时直线 的方程为 ， 点 D 的坐标为 , 中点 的坐标为 ,故直线 的斜率为 , 故直线 的方程为 ,即 ,所以点 到直线 的距离 故以 为直径的圆与直线 相切综上得，当点 运动时，以 为直径的圆与直线 相切 【若有不同解法，请酌情给分】