信号(清华大学出版社)第三章第一讲.ppt

前一章通过将连续时间信号分解为单位冲激信号 然后求解单位冲激信号激励下的响应 再利用叠加原理求解总响应 卷积 分析过程中 信号始终在时间域 称为时域分析法 第三章连续时间信号与系统的频域分析 信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加 并从信号的组成情况去考察信号的特性 数学上 任意一函数都可表示为一个完备正交函数集中无限多个相互正交的函数的无穷级数 第三章连续时间信号与系统的频域分析 傅里叶 Fourier 级数是大家熟悉的正交函数集 只要符合一定的条件 任意一信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正弦分量即频率函数 也就是说信号分析可以从时域变换到频域分析即频域分析法 第三章连续时间信号与系统的频域分析 频域分析 傅里叶变换 自变量为j 变换域分析 复频域分析 拉氏变换 自变量为S j Z域分析 Z变换 自变量为z 第三章连续时间信号与系统的频域分析 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 一 正交向量 矢量 向量 A1和A2参加如下运算 是它们的差 如下式 表示和互相接近的程度 当 完全重合 则随夹角增大 减小 互相垂直的两个向量组成一个正交向量集 当 和相互垂直 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 一 正交向量 矢量 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 一 正交向量 二维平面上 向量A1与A2正交 A1 A2 0 A1 A2 为平面上的完备正交集 于是任一向量A C1A1 C2A2 三维空间上 A1 A2 A3两两正交 A1 A2 A3 为三维空间上的完备正交集 于是任一向量A C1A1 C2A2 C3A3 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 一 正交向量 n维空间上 n维正交向量集 A1 A2 An 有 A C1A1 C2A2 Cn n 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 一 正交向量 令则误差能量最小 误差能量 二 信号的正交分解与正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 若 则不包含的分量 则称正交 正交的条件 二 信号的正交分解与正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 二 信号的正交分解与正交函数集 1 正交函数定义 任意两个实函数f1 t 与f2 t 在 t1 t2 内正交 f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 内为正交函数集 特别地 当ki 1时称为归一化正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 复变函数f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 内为正交复变函数集 二 信号的正交分解与正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 定义 正交函数集 f1 t f2 t fn t 是完备的 找不到另外一个非零函数与该函数集中每一个函数都正交 完备的正交函数集 二 信号的正交分解与正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 信号的正交展开 称为傅里叶级数系数 定理3 1设 f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 内是某一类信号的完备正交函数集 则这一类信号中的任一个信号f t 均可表示为 式中加权系数Ci 二 信号的正交分解与正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 定理3 2在式 3 9 条件下 有 即 f t 的能量等于各个分量的能量之和 能量守恒 亦称之为帕塞瓦尔 Parseval 定理 二 信号的正交分解与正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 1 三角函数集 1 cosn t sinm t n 1 2 m 1 2 在区间 t0 t0 T 内是一个完备正交函数集 其正交性的证明 三 常见的完备的正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 2 虚指数函数集 ejn t n 0 1 2 在 t0 t0 T 内一个完备正交函数集 其正交性的证明 三角函数集与虚指数函数集是两个最重要的完备正交函数集 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 三 常见的完备的正交函数集 四 周期信号展开成傅里叶级数 傅里叶分析方法是信号与系统分析中最基本 最重要的分析方法 它不仅求解简单而且与实际信号的物理特性有本质的对应关系 如声音的强弱 色彩的明暗都直接与其频率分量有关 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 一 三角形式的傅里叶级数 设任意周期信号f t f t kT k为整数 满足下列条件 荻里赫利条件 1 在一个周期内 函数是绝对可积的 2 在一个周期内 函数的极值数目有限 3 在一个周期内 函数是连续的或者有限个一类间断点 左右极限存在但不等 四 周期信号展开成傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 进行分解可得 傅里叶系数 四 周期信号展开成傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 同频率的两项可以合并 n次谐波分量 其角频率为基波频率的n倍 直流分量 零次谐波 即f t 在一个周期内的平均值 基波分量 一次谐波 其角频率与f t 的相同 为 其中 四 周期信号展开成傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 将周期信号f t 在虚指数函数集 ejn t n 0 1 2 3 上展开就得到指数形式的傅里叶级数 信号分析时往往用此形式 二 指数形式的傅里叶级数 级数正 系数负 注意此系数为复数 其中 傅里叶系数 四 周期信号展开成傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 三角形式傅里叶级数通过欧拉公式展开 三角形式与指数形式傅里叶级数的关系 四 周期信号展开成傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 与三角形式傅里叶级数的关系 与指数形式对照 四 周期信号展开成傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 1 偶函数 f t f t 五 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 例如 周期三角函数是偶函数 2 奇函数 f t f t 五 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 Fn为虚数 例如周期锯齿波是奇函数 E 2 E 2 T1 2 T1 2 f t t 0 3 奇谐 波 半波对称 函数 3 奇谐 波 半波对称 函数 五 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 4 偶谐 波 半周期 函数 五 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 以指数形式讨论 推导过程不作要求 只要记住结论 设 六 傅里叶系数的性质 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 例 利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量 周期偶函数 奇谐函数 只含基波和奇次谐波的余弦分量 周期奇函数 奇谐函数 只含基波和奇次谐波的正弦分量 含有直流分量和正弦分量 只含有正弦分量 含有直流分量和余弦分量 例 利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量 例 求周期信号的三角型傅里叶级数与指数型傅里叶级数 去掉该直流分量后为奇 奇谐函数f1 t 故只含奇次谐波的sinn t分量 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 解 可利用傅里叶性质3求解 例 求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数 3 1信号的正交分解与傅里叶级数 如果要确定某一谐波分量 或 只需确定和某一频率对应的谐波幅值和相位 3 2周期信号的频谱 一 周期信号的频谱 频谱 幅度谱 以频率 角频率 为横坐标 以各谐波的振幅An或 Fn 为纵坐标画出的线图 离散 为幅度频谱 简称幅度谱 相位谱 以频率 角频率 为横坐标 以各谐波的初相角为纵坐标画出的线图 离散 为相位频谱 简称相位谱 3 2周期信号的频谱 一 周期信号的频谱 3 2周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 T 4时 T 4 A 1时 3 2周期信号的频谱 一 周期矩形脉冲的频谱 由双边频谱 单边频谱 3 2周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 矩形脉冲的频谱特点 1 各谱线高度与脉冲高度A及宽度 成正比 与周期T成反比 且受抽样函数包络线牵制 由上可知周期矩形脉冲的频谱有下列特点 3 2周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 2 周期矩形脉冲的零分量频率为n 2 m 即 n 2m m 1 2 3 2周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 3 信号能量主要集中在第一个零分量频率之内 矩形信号的有效频谱宽度B 2 Bf 1 3 2周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 4 若 而T不变 谱线间隔 2 T不变 谱线高度 B 2m m 1 2 占有频带内所含谱线个数T 增多 即谱线分量增多 3 2周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 5 若T 而 不变 谱线间隔 2 T 谱线变密 且谱线高度 B 2m m 1 2 不变 占有频带内所含谱线个数T 增多 即谱线分量增多 若T 则间隔 0 连续频谱 3 2周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 三 任意周期信号频谱的特点 1 离散性 频谱是谱线 称为离散频谱或线谱 2 谐波性 各分量频率都是基波频率的整数倍 谱线间隔均匀 3 收敛性 谱线幅度随n 而衰减到零 3 2周期信号的频谱 四 周期信号的功率谱 功率 频 谱 Fn 2 n 的关系 也是一离散谱 周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和 3 2周期信号的频谱