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第6讲 排列、组合、二项式定理一、选择题1设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4B15x4C20ix4 D20ix4解析：(xi)6的展开式的通项为Tr1Cx6rir(r0,1,2，6)，令r2，得含x4的项为Cx4i215x4，故选A.答案：A2用0,1，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252C261 D279解析：0,1,2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，所以有重复数字的三位数有900648252(个)答案：B3甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()A10 B16C20 D24解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A20种坐法答案：C4二项式9的展开式中x的系数等于()A84 B24C6 D24解析：根据二项式定理可知，Tr1Cr99令9r1，得r6，所以x的系数为C69384，故选A.答案：A5小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有()A18种 B27种C37种 D212种解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C，为35种共计37种取法故选C.答案：C6已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3C2 D1解析：(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，所以x2的系数为105a5，所以a1，故选D.答案：D7在二项式(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A960 B960C1 120 D1 680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(12x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n256，n8，则(12x)8的展开式的中间项为第5项，且T5C(2)4x41 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.答案：C8若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28C7 D8解析：取x1得(1)4(13)8a0a1a2a11a12，取x3得(3)4(33)8a0a1a2a11a12，与两式左、右两边分别相减得282(a1a3a5a11)，所以a1a3a5a1127，所以log2(a1a3a5a11)7.答案：C9从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有()A240种 B360种C480种 D600种解析：分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C15种不同选法，所以不同的选法有101525(种)第二步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有A24种方案由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有2524600(种)答案：D10若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为()A1或3 B1或3C1 D3解析：令x0，得a0a1a2a9(2m)9，令x2，得a0a1a2a3a9m9，所以(2m)9m939，即m22m3，解得m1或3.答案：A11某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()A80种 B90种C120种 D150种解析：有两类情况：其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有CA60种；其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有CA90种所以共有6090150种故选D.答案：D12两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为()A48 B36C24 D12解析：分三步：先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A2种排法；两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A2种排法；将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A6种排法则共有22624种排法故选C.答案：C二、填空题13若4展开式的常数项为54，且a0，则a_.解析：依题意，二项式4的展开式的通项Tr1C()4rrCarx2r.令2r0得r2.因此，二项式4的展开式中的常数项是T3Ca26a254，a29.又a0，因此a3.答案：314若直线xay10与2xy50垂直，则二项式5的展开式中x4的系数为_解析：由两条直线垂直，得12a(1)0，得a2，所以二项式为5，其通项Tr1C(2x2)5rr(1)r25rCx103r，令103r4，解得r2，所以二项式的展开式中x4的系数为23C80.答案：8015现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种(用数字作答)解析：第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有CA18种；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有AA36种，根据分类加法计数原理可得，共有361854种答案：5416从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是_解析：形如“15”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选取，有A12个形如“25”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有CCA24个形如“35”，同有A12个形如“45”，同，也有CCA24个，形如“65”，也有CCA24个，以上5类小于7 000的数共有96个故第97个数是7 025，第98个数是7 045，第99个数是7 065，第100个数是7 205.答案：7 205
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