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考点规范练20函数y=Asin(x+)的图象及应用一、基础巩固1.已知简谐运动f(x)=2sin3x+|2的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()A.T=6,=6B.T=6,=3C.T=6,=6D.T=6,=3答案A解析最小正周期为T=23=6;由2sin=1,得sin=12,又|2,所以=6.2.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象()A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向左平移12个单位长度D.向右平移12个单位长度答案C解析y=cos(2x+1)=cos2x+12,只要将函数y=cos2x的图象向左平移12个单位长度即可.3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C解析因为sin6x+-1,1,所以函数y=3sin6x+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移8个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则的一个可能取值为()A.34B.4C.0D.-4答案B解析由题意可知平移后的函数为y=sin2x+8+=sin2x+4+.由平移后的函数图象关于y轴对称,可得4+=k+2(kZ),即=k+4(kZ),故选B.5.(2018天津,文6)将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间-4,4上单调递增B.在区间-4,0上单调递减C.在区间4,2上单调递增D.在区间2,上单调递减答案A解析将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2x-10+5=sin2x,该函数在-4+k,4+k(kZ)上单调递增,在4+k,34+k(kZ)上单调递减,结合选项可知选A.6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移02个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为6,则=()A.6B.4C.3D.512答案C解析由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移00,|2的部分图象如图所示,则y=fx+6取得最小值时x的集合为()A.xx=k-6,kZB.xx=k-3,kZC.xx=2k-6,kZD.xx=2k-3,kZ答案B解析根据所给图象,周期T=4712-3=,故=2,即=2,因此f(x)=sin(2x+),又图象经过712,0,代入有2712+=k(kZ),再由|0,0,|0,0,|2的图象,可得A=2,142=56-13,求得=.根据五点作图法可得13+=2,2k(kZ),结合|2,求得=6,故f(x)=2sinx+6.把f(x)的图象向左平移12个单位长度后,得到函数g(x)=2sinx+12+6=2cosx+6的图象,则g52=2cos52+6=2cos23=-1,故选A.9.若关于x的方程2sin2x+6=m在区间0,2上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,3)B.0,2C.1,2)D.1,3答案C解析方程2sin2x+6=m可化为sin2x+6=m2,当x0,2时,2x+66,76,画出函数y=f(x)=sin2x+6在区间0,2上的图象如图所示.由题意,得12m21,即1m0,-22图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到y=sin x的图象,则f6=.答案22解析函数f(x)=sin(x+)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到y=sin(2x+)的图象,再向右平移6个单位长度,得到y=sin2x-6+=sin2x-3+的图象.由题意知sin2x-3+=sinx,所以2=1,-3+=2k(kZ),又-22,所以=12,=6,所以f(x)=sin12x+6.所以f6=sin126+6=sin4=22.11.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移(0)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则=.答案3解析函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=2,则x=4.x=8关于x=4对称的直线为x=38,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=38的点平移到x=1724,则=1724-38=3.12.设函数f(x)=sin2x+6,则下列命题:f(x)的图象关于直线x=3对称;f(x)的图象关于点6,0对称;f(x)的最小正周期为,且在区间0,12上为增函数;把f(x)的图象向右平移12个单位长度,得到一个奇函数的图象.其中正确的命题的序号为.答案解析对于,f3=sin23+6=sin56=12,不是最值,因此x=3不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题错误;对于,f6=sin26+6=10,因此点6,0不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;对于,函数f(x)的最小正周期为T=22=,当x0,12时,令t=2x+66,3,显然函数y=sint在区间6,3上为增函数,因此函数f(x)在区间0,12上为增函数,故该命题正确;对于,把f(x)的图象向右平移12个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin2x-12+6=sin2x,是奇函数,故该命题正确.二、能力提升13.已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)f(-2)f(0)B.f(0)f(2)f(-2)C.f(-2)f(0)f(2)D.f(2)f(0)0,f(2)=Asin4+6=32Asin4+A2cos40,f(-2)=Asin-4+6=-32Asin4+A2cos4.因为f(2)-f(-2)=3Asin40,所以f(2)f(-2).又f(-2)-f(0)=-Asin4-6-A2=-Asin4-6+12,因为4-6+6sin+6=-12,即sin4-6+120,所以f(-2)f(0).综上,f(2)f(-2)0,|2,118-58142,所以231.所以排除C,D.当=23时,f58=2sin5823+=2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因为|0,4a23,4a76,解得6a724.16.已知函数y=3sin12x-4.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.解(1)列表:x23252729212x-4023223sin12x-4030-30描点、连线,如图所示:(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移4个单位长度,得到y=sinx-4的图象,再把y=sinx-4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x-4的图象,最后将y=sin12x-4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-4的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x的图象,再把y=sin12x图象上所有的点向右平移2个单位长度,得到y=sin12x-2=sinx2-4的图象,最后将y=sinx2-4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-4的图象.三、高考预测17.已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-4,4时,f(x)-12.(1)解f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)证明因为-4x4,所以-62x+356.所以sin2x+3sin-6=-12.所以当x-4,4时,f(x)-12.
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