乘法公式与全概率公式.ppt

条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式 1 4条件概率与三个概率公式 一 条件概率 对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的 但有时除了这个确定的条件以外 还会提出附加的条件 即已知某一事件B已经发生 要求另一事件A发生的概率 例如 考虑有两个孩子的家庭 假定男女出生率相同 则两个孩子的性别为 男 男 男 女 女 男 女 女 的可能性是一样的 若A记为 一男一女 则P A 1 2 但如果预先知道至少有一男孩 则上述事件的概率应为2 3 例如 考虑有两个孩子的家庭 假定男女出生率相同 则两个孩子的性别为 男 男 男 女 女 男 女 女 的可能性是一样的 若A记为 一男一女 则P A 1 2 但如果预先知道至少有一男孩 则上述事件的概率应为2 3 我们将 已知事件B发生的条件下 事件A发生的概率 称为条件概率 记为P A B 若记B为至少有一男孩 则上述概率为 条件概率的计算公式规定如下 例1设袋中有7个黑球 3个白球 不放回摸取两次 如果已知第一次摸到白球 求第二次也摸到白球的概率 解设A B分别表示第一 二次摸到白球 则 法二 法一 A发生后的缩减样本空间所含样本点总数 在缩减样本空间中B所含样本点个数 例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0 8 活到25年以上的概率为0 4 问现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的概率是多少 解设A 能活20年以上 B 能活25年以上 依题意 P A 0 8 P B 0 4 所求为P B A 不难验证条件概率具有以下三个基本性质 1 非负性 2 规范性 3 可加性 并由此推出条件概率的其它性质 1 设A与B互不相容 且P B 0 则P A B 2 设A与B为两事件 且P A 0 7 P B 0 6 练习 0 注 概率P A B 与P AB 的区别与联系 联系 事件A B都发生了 区别 1 在P A B 中 事件A B发生有时间上的差异 B先A后 在P AB 中 事件A B同时发生 2 样本空间不同 在P A B 中 事件B成为样本空间 在P AB 中 样本空间仍为S 因而有 作业 P 19习题1 41 二 乘法公式 由条件概率的公式 即若P B 0 则P AB P B P A B 若已知P B P A B 时 可以反求P AB 若P A 0 则P AB P A P B A 推广到三个事件 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1A2 An 1 一般 与次序无关 乘法公式 例3某厂产品的废品率为4 而合格品中有75 是一等品 求一等品率 解 记A 合格品 B 一等品 即一等品率为72 例4 例4 三 全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率 它实质上是可加性和乘法公式的综合运用 综合运用 可加性P A B P A P B A B互斥 乘法公式P AB P A P B A P A 0 即每次至多发生其中一个 即每次至少发生其中一个 B1 B2 B3 B4 B6 B7 B5 B8 集合的划分 A B1 B2 B3 B4 B6 B7 B5 B8 由概率的可加性及乘法公式 有 这个公式称为全概率公式 它是概率论的基本公式 全概率公式 利用全概率公式 可以把较复杂事件概率的计算问题 化为若干互不相容的较简单情形 分别求概率然后求和 例5市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为30 20 50 且三家工厂的次品率分别为3 3 1 试求 1 市场上该品牌产品的次品率 B1 B2 B3分别表示买到 设A 买到一件次品 解 加权平均 一件甲厂 乙厂 丙厂的产品 例6袋中有a个白球b个黑球 不放回摸球两次 问第二次摸出白球的概率为多少 解 分别记A B为第一次 第二次摸到白球 由全概率公式 例7设玻璃杯整箱出售 每箱20只 各箱含0 1 2只次品的概率分别为0 8 0 1 0 1 一顾客欲购买一箱玻璃杯 由营业员任取一箱 经顾客开箱随机察看4只 若无次品 则买此箱玻璃杯 否则退回 试求顾客买下此箱玻璃杯的概率 解 记A 顾客买下所察看的一箱玻璃杯 Bi 箱中有i件次品 i 0 1 2 由题设知 由全概率公式知 四 贝叶斯公式 在上面例5中 如买到一件次品 问它是甲厂生产的概率为多大 这就要用到 在全概率公式的假定下 有 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件A已发生的条件下 寻找导致A发生的每个原因Bk的概率 贝叶斯公式 所以这件商品最有可能是甲厂生产的 例5已知三家工厂的市场占有率分别为30 20 50 次品率分别为3 3 1 2 如果买了一件该商品 发现是次品 问它是甲 乙 丙厂生产的概率分别为多少 0 3 0 2 0 5 0 45 0 3 0 25 解 全概率公式可看成 由原因推结果 而贝叶斯公式的作用在于 由结果推原因 现在一个 结果 A已经发生了 在众多可能的 原因 中 到底是哪一个导致了这一结果 故贝叶斯公式也称为 逆概公式 例8对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时 产品的合格率为90 而当机器发生某一故障时 其合格率为30 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为75 已知某天早上第一件产品是合格品 试求机器调整得良好的概率是多少 机器调整得良好产品合格机器发生某一故障 解 设A表示产品合格 B表示机器调整良好 例8对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时 产品的合格率为90 而当机器发生某一故障时 其合格率为30 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为75 已知某天早上第一件产品是合格品 试求机器调整得良好的概率是多少 下面举一个实际的医学例子 说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用 解 因此 虽然检验法相当可靠 但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大 其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小 当然 医生在公布某人患肝癌之前 是不会只做一次或一种检验 还会辅以其它检验手段 思考 诊断为无病 而确实没有患病的概率为多少 贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中也有重要应用 有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法 叫作 贝叶斯统计 可见贝叶斯公式的影响 作业 P 19习题1 42 4 5 6