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第05节 导数的综合应用A基础巩固训练1.定义在区间0,1上的函数f(x)的图象如图所示，以为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数的大致图象为（ ）【答案】D【解析】因为 底边长一定，点由到的过程中，当与 、 共线时不能组成三角形，所以函数与其导函数都不连续，故排除选项、，又点由到的过程中面积先增后减，再增再减，因此导函数应该先正后负，再正再负，所以选项D符合题意，故选D.2.【2018届湖南省湘潭市四模】已知定义在上的奇函数满足（），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可详解：设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x0时，g（x）=，因为函数f（x）满足2f（x）xf（x）0（x0），所以g（x）0，所以g（x）是增函数，g（）=，可得：故选：B3.已知是定义在上的偶函数，其导函数为,若 ，且，则不等式的解集为（ ）A B C. D【答案】A【解析】可取特殊函数，故选A.4.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：把给出的等式变形得到，由此联想构造辅助函数,由其导函数的符号得到其在上为增函数，则，整理就得到答案.5.【2018届四川省冲刺演练（一）】已知函数，则函数的零点的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据与时的解析式，分别判断出函数的单调性，即可得出函数零点及其范围，再结合函数的图象即可得出函数的零点的个数.详解：当时，则.当时，；当时，.在时取得极大值为3，函数在，上各有1个零点当时，的零点为2和3.由，得或或或，其中，.结合函数的图象可知，方程的解的个数为2，方程的解的个数为1，方程的解的个数为3，方程的解的个数为2.函数的零点的个数为8个B能力提升训练1【2018届宁夏银川一中三模】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意，设g（x）=x2f（x），x0，求出导数，分析可得g（x）0，则函数g（x）在区间（，0）上为减函数，结合函数g（x）的定义域分析可得：原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案详解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x0，其导数g（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f（x）=x（2f（x）+xf（x），又由2f（x）+xf（x）x20，且x0，则g（x）0，则函数g（x）在区间（，0）上为减函数，（x+2018）2f（x+2018）4f（2）0（x+2018）2f（x+2018）（2）2f（2）g（x+2018）g（2），又由函数g（x）在区间（，0）上为减函数，则有，解可得：x2020，即不等式（x+2018）2f（x+2018）4f（2）0的解集为（，2020）；故选：B2设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D3已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数), 若，, 则的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】函数的图象关于直线对称，关于轴对称， 函数为奇函数. 因为， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递减.， ，故选A.4.【2018届福建省宁德市5月检查】已知定义在上的函数满足且，若恒成立，则实数的取值范围为_ 【答案】【解析】分析：求出f（x）的解析式为f（x）=ex，结合函数图象即可得出a的范围详解：0，f（x）为增函数，f（f（x）ex）=1，存在唯一一个常数x0，使得f（x0）=1，f（x）ex=x0，即f（x）=ex+x0，令x=x0可得+x0=1，x0=0，故而f（x）=ex，f（x）ax+a恒成立，即exa（x+1）恒成立y=ex的函数图象在直线y=a（x+1）上方，不妨设直线y=k（x+1）与y=ex的图象相切，切点为（x0，y0），则，解得k=1当0a1时，y=ex的函数图象在直线y=a（x+1）上方，即f（x）ax+a恒成立，：故答案为：0，15已知函数，（）讨论函数的单调性；（）若函数有两个零点，求实数的取值范围【答案】（）当时，上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（）【解析】（） 当上单调递减； 当.函数在上单调递减，在上单调递增 综上：当上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（）当由（）得上单调递减，函数不可能有两个零点；当a0时，由（）得，且当x趋近于0和正无穷大时，都趋近于正无穷大，故若要使函数有两个零点，则的极小值，即，解得,综上所述，的取值范围是 C 思维拓展训练1【浙江省宁波市六校2017-2018学年高二下学期期末联考】已知函数，为常数（）若时，已知在定义域内有且只有一个极值点，求的取值范围；（）若，已知，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2） （），法1： 因，恒成立，则内，先必须递增，即先必须，即先必须，因其对称轴，有图知（此时在 ），所以 法2： 因，所以，所以， 令，因， ，所以递增，所以， 点睛：本题考查了含有参量的导数极值问题和恒成立问题，在解答此类题目时将参数代入，然后根据题意进行转化，结合导数的单调性进行证明，本题有一定难度. 2.【浙江省丽水市2017-2018学年高二下学期期末】已知函数,（）求函数的单调减区间；（）证明:；（）当时，恒成立，求实数的值.【答案】(1) f(x)的单调递减区间是.(2)证明见解析.(3) .【解析】分析：() 求导，由，即可得到函数的单调减区间； () 记h(x)f(x) g(x),设法证明，即可证明 . () 由题即易证,当时取到等号，由 得,由此可求的值.详解： () 因为由，得所以f(x)的单调递减区间是. () 记h(x)f(x) g(x),所以在R上为减函数因为所以存在唯一，使即，,当时，；当时，.所以 所以 . () 因为,所以,易证,当时取到等号，由 得,所以即. 3【2018届浙江省台州中学模拟】已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.（2）当时，令，所以在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.点睛：该题考查的是有关导数的定义和应用导数证明不等式的问题，在解题的过程中，注意曲线在某个点处的切线方程的求解步骤，以及应用导数证明不等式恒成立的解题思路，利用导数研究函数的最值，通过最值所满足的条件，求得结果.4【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（）先求，再求切线的斜率即可得到曲线在处的切线.（）要证，只要，而，故应考虑在上的零点，又，此方程在仅有一个根且为的最小值点，所以待证成立，可估算，故成立.详解：（）所以，则切线方程为.（）令，则，设的两根为，由于，不妨设，则在是递减的，在是递增的.而，所在上存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增.所以，因为，,，所以.点睛：解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.函数不等式的证明，可归结为函数的最值来处理，有时最小值点难以计算时，须估算最小值点的范围.5【2018年浙江卷】已知函数f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点【答案】（）见解析 （）见解析详解：（）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）kna0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
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