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高考大题专项练四高考中的立体几何1.(2018全国,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)解作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.2.(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PEBC;(2)平面PAB平面PCD;(3)EF平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD,所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD,所以AB平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FGBC,FG=12BC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DEBC,DE=12BC.所以DEFG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.4.如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.(1)证明:AA1平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B平面EAC,并求出此时三棱锥D-AEC的体积.(1)证明因为底面ABCD是菱形,ABC=60,所以AB=AD=AC=2.在AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1AB.同理,AA1AD.又因为ABAD于点A,所以AA1平面ABCD.(2)解当A1EED=1时,A1B平面EAC.证明如下:连接BD交AC于O,当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OEA1B,所以A1B平面EAC.设AD的中点为F,连接EF.则EFAA1,所以EF平面ACD,且EF=1,可求得SACD=3.所以VE-ACD=1313=33,即VD-AEC=VE-ACD=33.5.如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD平面VBC;(2)求证:AC平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.(1)证明O,D分别是AB和AC的中点,ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC,OD平面VBC.(2)证明VA=VB,O为AB中点,VOAB.连接OC,在VOA和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,VOAVOC,VOA=VOC=90,VOOC.又ABOC=O,AB平面ABC,OC平面ABC,VO平面ABC.又AC平面ABC,ACVO.又VA=VC,D是AC的中点,ACVD.VO平面VOD,VD平面VOD,VOVD=V,AC平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=VA2-AO2=3.又点C是弧AB的中点,COAB,且CO=1,AB=2.三角形ABC的面积SABC=12ABCO=1221=1,棱锥V-ABC的体积为VV-ABC=13SABCVO=1313=33,故棱锥C-ABV的体积为33.6.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=1312222=43.7.(2018全国,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.(1)证明由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QE13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为VQ-ABP=13QESABP=13112322sin45=1.8.(2018天津,文17)如图,在四面体ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,BAD=90.(1)求证:ADBC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.(1)证明由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.(2)解取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=AD2+AM2=13.因为AD平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=AD2+AN2=13.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=12MNDM=1326.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.(3)解连接CM.因为ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CMAB,CM=3.又因为平面ABC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=AC2+AD2=4.在RtCMD中,sinCDM=CMCD=34.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34.
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