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专题突破三焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化一、焦点弦性质的推导例1抛物线y22px(p0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)为定值；(5)SOAB(为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题证明(1)当ABx轴时，不妨设A，B，y1y2p2，x1x2.当AB的斜率存在时，设为k(k0)，则直线AB的方程为yk，代入抛物线方程y22px，消元得y22p，即y2p20，y1y2p2，x1x2.(2)当90时，过A作AGx轴，交x轴于G，由抛物线定义知|AF|AA1|，在RtAFG中，|FG|AF|cos，由图知|GG1|AA1|，则p|AF|cos|AF|，得|AF|，同理得|BF|；当90时，可知|AF|BF|p，对于|AF|，|BF|亦成立，|AF|，|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p，当且仅当90时取等号故通径长2p为最短的焦点弦长(4)由(2)可得，.(5)当90时，SOAB2p，故满足SOAB；当90时，设直线AB：ytan，原点O到直线AB的距离dsin，SOAB|AB|sin.(6)如图：M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，则|MM1|，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切二、焦点弦性质的应用例2(1)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.B.C.D.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案D解析方法一由题意可知，直线AB的方程为y，代入抛物线的方程可得4y212y90，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23，y1y2，故所求三角形的面积为.方法二运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则SOAB.(2)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12D10考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案A解析方法一抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16.方法二运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，因此|AB|DE|16.点评上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题跟踪训练1(1)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C.D2考点题点答案C解析方法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12，取A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率k2，直线AB的方程为y2(x1)，即2xy20，则点O到该直线的距离d.由消去y得，2x25x20，解得x12，x2，|BF|x21，|AB|3，SAOB|AB|d.方法二设直线的倾斜角为，不妨设0，|AF|3，cos，SAOB.(2)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案解析方法一设直线的倾斜角为，不妨设0，|AB|，sin2，则cos，又|AF|BF|，|AF|.方法二由于y22x的焦点坐标为，由题干知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若PF与FQ的长分别为p，q，则等于()A.B.C2aD4a考点题点答案B解析可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|pxP，|QF|q，.3过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|BF|，则的值为()A3B2C.D.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案A解析由抛物线的性质可知，|AF|，|BF|，3.4已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy的最小值为()A4B6C8D10考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案C解析由焦点弦的性质知，y1y24，即|y1|y2|4，则yy2|y1|y2|8，当且仅当|y1|y2|2时，取等号故yy的最小值为8.5.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，则p的值为()A.B2C.D.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案C解析设直线l的倾斜角为，由焦点弦的性质知，|BF|，|AF|，解得6.已知抛物线y24x，圆F：(x1)2y21，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|CD|的值的说法中，正确的是()A等于1B等于4C最小值是1D最大值是4考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案A解析设直线l：xty1，代入抛物线方程，得y24ty40.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x11，|DF|x21，故|AB|x1，|CD|x2，所以|AB|CD|x1x2，而y1y24，故|AB|CD|1.7设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案C解析当cos0时，|AF|，|BF|，|AF|3|BF|，cos，则tan，l的方程为y(x1)，当cos0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1y2p8，又AB的中点到x轴的距离为3，y1y26，p2，抛物线的标准方程是x24y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240，(*)易知抛物线在点P处的切线方程为y(xx3)，令y1，得x，R，又Q，F，R三点共线，kQFkFR，又F(0,1)，即(x4)(x4)16x3x40，整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，将(*)式代入上式得k2，k，直线m的方程为yx6.
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