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11.1&1.1.2变化率问题导数的概念预习课本P26，思考并完成下列问题(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？ (2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？ 1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)意义：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率为割线AB的斜率，如图所示点睛x是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即xx2x10，但x可以为正，也可以为负2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率定义式 实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢点睛“x无限趋近于0”的含义x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.3导数的概念定义式 记法f(x0)或y|xx0实质函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零()答案：(1)(2)(3)2质点运动规律为s(t)t23，则从3到3t的平均速度为()A6tB6tC3t D9t答案：A3已知函数f(x)2x24的图象上两点A，B，且xA1，xB1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A4 B4xC4.2 D4.02答案：C4在f(x0) 中，x不可能为()A大于0 B小于0C等于0 D大于0或小于0答案：C求函数的平均变化率典例求函数f(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x的值为，哪一点附近的平均变化率最大？解在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x；若x，则k12，k24，k36，由于k1k2k3，故在x3附近的平均变化率最大求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x1)f(x0)(2)再计算自变量的改变量xx1x0.(3)求平均变化率.活学活用求函数yx3从x0到x0x之间的平均变化率，并计算当x01，x时平均变化率的值解：当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为3x3x0x(x)2，当x01，x时平均变化率的值为312312.求瞬时速度 典例一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)3tt2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度解(1)当t0时的速度为初速度在0时刻取一时间段0,0t，即0，t，ss(t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2，3t，li li (3t)3.物体的初速度为3.(2)取一时间段2,2t，ss(2t)s(2)3(2t)(2t)2(3222)t(t)2，1t， (1t)1，当t2时，物体的瞬时速度为1.1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度；(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算；(2)求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可活学活用一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为st2，则t2时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A2B1C. D.解析：选At2， 2，故选A.求函数在某点处的导数典例(1)函数y在x1处的导数为_(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为yf(t)t33，当t14，t0.01时，求y和比值；求t14时的导数解析(1)y1，li ，所以y|x1.答案：(1)(2)解：yf(t1t)f(t1)3tt3t1(t)2(t)3，故当t14，t0.01时，y0.481 201，48.120 1. 3t3t1t(t)23t48，故函数yt33在t14处的导数是48，即y|t1448.1用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)求极限 .2瞬时变化率的变形形式 f(x0) 活学活用求函数yx在x1处的导数解：因为y(1x)x，所以1.当x0时，2，所以函数yx在x1处的导数为2.层级一学业水平达标1如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A圆B抛物线C椭圆 D直线解析：选D当f(x)b时，瞬时变化率 0，所以f(x)的图象为一条直线2设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A2.1 B1.1C2 D0解析：选A2.1.3设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b解析：选Cf(x0) (abx)a.4如果质点A按照规律s3t2运动，则在t03时的瞬时速度为()A6B18C54D81解析：选Bs(t)3t2，t03，ss(t0t)s(t0)3(3t)233218t3(t)2.183t. (183t)18，故应选B.5已知f(x)x23x，则f(0)()Ax3 B(x)23xC3 D0解析：选Cf(0) li (x3)3.故选C.6设f(x)ax4，若f(1)2，则a_.解析：f(1) a，a2.答案：27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为_解析：1kOA，2kAB，3kBC，由图象知kOAkABkBC.答案：1238球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_解析：y2313，.答案：9质点按规律s(t)at21做直线运动(s单位：m，t单位：s)若质点在t2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解：ss(2t)s(2)a(2t)21(a221)4ata(t)2，4aat，在t2时，瞬时速度为 4a,4a8，a2.10已知函数f(x)求f(4)f(1)的值解：当x4时，y. .f(4).当x1时，x2，由导数的定义，得f(1)li (x2)2，f(4)f(1)(2).层级二应试能力达标1已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()A4B4xC42x D42(x)2解析：选C2x4.2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在0，t0这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()Av甲v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小关系不确定解析：选B设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC，所以v甲v乙3若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 1，则f(0)()A2 B1C1 D2解析：选Bf(x)图象过原点，f(0)0，f(0) 1，选B.4已知f(x)，且f(m)，则m的值等于()A4 B2C2 D2解析：选Df(x) ，于是有，m24，解得m2.5已知函数f(x)x2x在区间t,1上的平均变化率为2，则t_.解析：yf(1)f(t)(121)(t2t)t2t，t. 又2，t2.答案：26一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.解析：7t14t0，当 (7t14t0)1时，tt0.答案：7枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度解：位移公式为sat2，sa(t0t)2atat0ta(t)2，at0at， at0，已知a5.0105m/s2，t01.6103s，at0800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值(1) ；(2) .解：(1) m mf(x0)(2)原式 4 5 4f(x0)5f(x0)f(x0)
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