(浙江专版)2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念学案 新人教A版选修2-2.doc

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11.1&1.1.2变化率问题导数的概念预习课本P26,思考并完成下列问题(1)平均变化率的定义是什么?平均变化率的几何意义是什么? (2)瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率?(3)如何用定义求函数在某一点处的导数? 1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式:.(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)意义:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢(4)平均变化率的几何意义:设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点,函数yf(x)的平均变化率为割线AB的斜率,如图所示点睛x是变量x2在x1处的改变量,且x2是x1附近的任意一点,即xx2x10,但x可以为正,也可以为负2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率定义式 实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢点睛“x无限趋近于0”的含义x趋于0的距离要多近有多近,即|x0|可以小于给定的任意小的正数,且始终x0.3导数的概念定义式 记法f(x0)或y|xx0实质函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1,x2上变化快慢的物理量()(3)在导数的定义中,x,y都不可能为零()答案:(1)(2)(3)2质点运动规律为s(t)t23,则从3到3t的平均速度为()A6tB6tC3t D9t答案:A3已知函数f(x)2x24的图象上两点A,B,且xA1,xB1.1,则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A4 B4xC4.2 D4.02答案:C4在f(x0) 中,x不可能为()A大于0 B小于0C等于0 D大于0或小于0答案:C求函数的平均变化率典例求函数f(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率,取x的值为,哪一点附近的平均变化率最大?解在x1附近的平均变化率为k12x;在x2附近的平均变化率为k24x;在x3附近的平均变化率为k36x;若x,则k12,k24,k36,由于k1k2k3,故在x3附近的平均变化率最大求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x1)f(x0)(2)再计算自变量的改变量xx1x0.(3)求平均变化率.活学活用求函数yx3从x0到x0x之间的平均变化率,并计算当x01,x时平均变化率的值解:当自变量从x0变化到x0x时,函数的平均变化率为3x3x0x(x)2,当x01,x时平均变化率的值为312312.求瞬时速度 典例一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)3tt2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t2时的瞬时速度解(1)当t0时的速度为初速度在0时刻取一时间段0,0t,即0,t,ss(t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2,3t,li li (3t)3.物体的初速度为3.(2)取一时间段2,2t,ss(2t)s(2)3(2t)(2t)2(3222)t(t)2,1t, (1t)1,当t2时,物体的瞬时速度为1.1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度;(3)求瞬时速度,当t无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中,可把x作为一个数来参与运算;(2)求出的表达式后,x无限趋近于0就是令x0,求出结果即可活学活用一木块沿某一斜面自由滑下,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为st2,则t2时,此木块在水平方向的瞬时速度为()A2B1C. D.解析:选At2, 2,故选A.求函数在某点处的导数典例(1)函数y在x1处的导数为_(2)如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为yf(t)t33,当t14,t0.01时,求y和比值;求t14时的导数解析(1)y1,li ,所以y|x1.答案:(1)(2)解:yf(t1t)f(t1)3tt3t1(t)2(t)3,故当t14,t0.01时,y0.481 201,48.120 1. 3t3t1t(t)23t48,故函数yt33在t14处的导数是48,即y|t1448.1用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0);(2)求平均变化率;(3)求极限 .2瞬时变化率的变形形式 f(x0) 活学活用求函数yx在x1处的导数解:因为y(1x)x,所以1.当x0时,2,所以函数yx在x1处的导数为2.层级一学业水平达标1如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是()A圆B抛物线C椭圆 D直线解析:选D当f(x)b时,瞬时变化率 0,所以f(x)的图象为一条直线2设函数yf(x)x21,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为()A2.1 B1.1C2 D0解析:选A2.1.3设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a,b为常数),则()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b解析:选Cf(x0) (abx)a.4如果质点A按照规律s3t2运动,则在t03时的瞬时速度为()A6B18C54D81解析:选Bs(t)3t2,t03,ss(t0t)s(t0)3(3t)233218t3(t)2.183t. (183t)18,故应选B.5已知f(x)x23x,则f(0)()Ax3 B(x)23xC3 D0解析:选Cf(0) li (x3)3.故选C.6设f(x)ax4,若f(1)2,则a_.解析:f(1) a,a2.答案:27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段t0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为1,2,3,则三者的大小关系为_解析:1kOA,2kAB,3kBC,由图象知kOAkABkBC.答案:1238球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为_解析:y2313,.答案:9质点按规律s(t)at21做直线运动(s单位:m,t单位:s)若质点在t2时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值解:ss(2t)s(2)a(2t)21(a221)4ata(t)2,4aat,在t2时,瞬时速度为 4a,4a8,a2.10已知函数f(x)求f(4)f(1)的值解:当x4时,y. .f(4).当x1时,x2,由导数的定义,得f(1)li (x2)2,f(4)f(1)(2).层级二应试能力达标1已知函数f(x)2x24的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y),则等于()A4B4xC42x D42(x)2解析:选C2x4.2.甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图,则在0,t0这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的关系是()Av甲v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小关系不确定解析:选B设直线AC,BC的斜率分别为kAC,kBC,由平均变化率的几何意义知,s1(t)在0,t0上的平均变化率v甲kAC,s2(t)在0,t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC,所以v甲v乙3若可导函数f(x)的图象过原点,且满足 1,则f(0)()A2 B1C1 D2解析:选Bf(x)图象过原点,f(0)0,f(0) 1,选B.4已知f(x),且f(m),则m的值等于()A4 B2C2 D2解析:选Df(x) ,于是有,m24,解得m2.5已知函数f(x)x2x在区间t,1上的平均变化率为2,则t_.解析:yf(1)f(t)(121)(t2t)t2t,t. 又2,t2.答案:26一物体的运动方程为s7t28,则其在t_时的瞬时速度为1.解析:7t14t0,当 (7t14t0)1时,tt0.答案:7枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度解:位移公式为sat2,sa(t0t)2atat0ta(t)2,at0at, at0,已知a5.0105m/s2,t01.6103s,at0800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8设函数f(x)在x0处可导,求下列各式的值(1) ;(2) .解:(1) m mf(x0)(2)原式 4 5 4f(x0)5f(x0)f(x0)
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