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专题08 立体几何一、选择题1. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）A13.25立方丈 B26.5立方丈 C53立方丈 D106立方丈【答案】B2. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（ ）A BC D【答案】C3. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A BC D【答案】B【解析】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体，如图所示，该几何体的制面三角形有，由对称性只需计算，的大小，因为，.所以该几何体的表面积为.故选B. 6. 【河北省衡水中学20182019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A B C D【答案】B，(0h5)，求导，当0h时，体积单调递增，当h5时，体积单调减。所以当h=时，小圆柱体积取得最大值，故选B. 9. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A6 B9 C12 D18【答案】B10. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】C11. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）A B C D【答案】B【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B. 14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）A BC D【答案】A 15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A B C D【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，该几何体的表面积，本题选择B选项.16. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A有四个两两全等的面B有两对相互全等的面C只有一对相互全等的面D所有面均不全等【答案】B【解析】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，.所以. 解决该试题的关键是本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力20. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A8 B4C D【答案】C21. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）【答案】A【解析】以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P(，0，)，C(0，a,0)，则|MC|，|MP|.由|MP|MC|得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分22. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】已知球O与棱长为4的正方体的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是A BC D【答案】C二、填空题1. 【河北省衡水中学20182019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】如图所示，设分别为和的中点，则夹角为和夹角或其补角，作中点，则为直角三角形，中，由余弦定理得，在中，；在中，由余弦定理得，又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为，故答案为. 4. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点在线段 上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_【答案】5. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知直三棱柱中，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是_【答案】侧视图的面积为，故得的最大值为，故答案为.6. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且.球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面为_【答案】【解析】将三棱锥PABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为，设球的半径为R，PA=2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即O=x，连接C，则C=4，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连接D，E，则在直角三角形OD中，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，如图三， 球的表面积为 故答案为：100 . 三、解答题1. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】在矩形中，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）当时，点是的中点.，.，.，.又平面平面，平面平面，平面，平面.平面，.（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.则，.取的中点， 易证得平面，.，.设平面的一个法向量为，则令，则. 同理设平面FB1D的法向量为，则，令.所以， 所以,所以所求的镜二面角的余弦值为5. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知， ，过底面对角线作与平行的平面交于.（1）试判定点的位置，并加以证明；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1) 为的中点，见解析(2) 显然， 是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，所以 ，所以二面角的余弦值为. 7. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】四棱锥中，面，底面是菱形，且，过点作直线，为直线上一动点.（1）求证：；（2）当面面时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）由题意得和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为，连接、，则，又,平面又平面面，平面 面，面，.在菱形中，.在中，在中，设，则在中，又在直角梯形中，故， 解得，即.，.8. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】如图，点在以为直径的圆上， 垂直与圆所在平面， 为 的垂心（1）求证：平面平面 ；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）. = ，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.（2）以点为原点， ， ， 方向分别为， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.在中，由，得，则，.所以，.所以.设二面角的大小为，则. 从而.故所求的二面角的余弦值为.12. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】如图所示,在四棱锥中,平面平面.(1)求证:;(2)若二面角为,求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，所以平面. 所以是与平面所成的角.因为在中，所以在中，.13. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在中，分别为，的中点，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. 如图1 如图2（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.【解析】（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得. 又因为为的中点，所以 在题图2中，且，所以平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.则.所以直线与平面所成角的正弦值为.14. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，.（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当最大时，点N在线段CD上，且，四边形AMED为平行四边形平面SCD，平面SCD，平面SCD（3）设，其中由于，所以所以，可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，此时，即点N在线段CD上且
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