资源描述
突破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018全国3,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时,f(x)+e0.2.(2018河北保定一模,21改编)已知函数f(x)=x+ax.设函数g(x)=lnx+1.证明:当x(0,+)且a0时,f(x)g(x).3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,求a的取值范围.4.(2018安徽芜湖期末,21改编)已知函数f(x)=x3-aln x(aR).若函数y=f(x)在区间(1,e上存在两个不同零点,求实数a的取值范围.5.设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;(2)证明:当a0时,f(x)2a+aln2a.6.(2018河北衡水中学押题三,21)已知函数f(x)=ex-x2+a,xR,曲线y=f(x)的图像在点(0,f(0)处的切线方程为y=bx.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)当xR时,求证:f(x)-x2+x;(3)若f(x)kx对任意的x(0,+)恒成立,求实数k的取值范围.参考答案突破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(1)解f(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当a1时,f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.当x-1时,g(x)-1时,g(x)0,g(x)递增;所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.2.证明令h(x)=f(x)-g(x)=x+ax-lnx-1(x0),h(x)=1-ax2-1x=x2-x-ax2,设p(x)=x2-x-a=0,函数p(x)的图像的对称轴为x=12.p(1)=1-1-a=-a1,由对称性知,p(x)=0的另一根小于0,且x02-x0-a=0,h(x)在(0,x0)上是减少的,在(x0,+)上是增加的,h(x)min=h(x0)=x0+ax0-lnx0-1=x0+x02-x0x0-lnx0-1=2x0-ln x0-2.令F(x)=2x-ln x-2(x1),F(x)=2-1x=2x-1x0恒成立,所以F(x)在(1,+)上是增加的.F(1)=2-0-2=0,F(x)0,即h(x)min0,所以,当x(0,+)时,f(x)g(x).3.解法1 函数f(x)的定义域为R,当a=0时,f(x)=-3x2+1,有两个零点33,原函数草图a=0不合题意;当a0,x-时,f(x)-,f(0)=1,f(x)存在小于0的零点x0,不合题意;当a0时,f(x)=3ax2-6x,由f(x)=3ax2-6x=0,得x1=0,x2=2a0,在区间-,2a内f(x)0;在区间(0,+)内f(x)0f(x)min=f2a08a2-12a2+104a24.a0,a-2.解法2 曲线y=ax3与曲线y=3x2-1仅在y轴右侧有一个公共点,当a0时,由图像知不符合题意;当a0时,设曲线y=ax3与曲线y=3x2-1相切于点(x0,y0),则ax03=3x02-1,3ax02=6x0,得a=-2,由图像知a0,当t1或t-1时,g(x)0.所以g(t)在(-,-1)递减,在区间(-1,1)递增,在(1,+)递减,所以当t=-1时,g(t)min=-2,由g(t)=-t3+3t的图像可知,t=1时,g(t)max=2.x+时,g(t)+,当a-2时,直线y=a与g(t)=-t3+3t的图像只有一个交点,交点在第四象限,所以满足题意.4.解由f(x)=0,得a=x3lnx在区间(1,e上有两个不同实数解,即函数y=a的图像与函数g(x)=x3lnx的图像有两个不同的交点.因为g(x)=x2(3lnx-1)(lnx)2.令g(x)=0得x=3e,所以当x(1,3e)时,g(x)0,函数在(3e,e上递增;则g(x)min=g(3e)=3e,而g(e127)=e327lne127=27e1927,且g(e)=e30).当a0时,f(x)0,f(x)没有零点,当a0时,因为e2x递增,-ax递增,所以f(x)在(0,+)递增.又f(a)0,当b满足0ba4且b14时,f(b)0时,f(x)存在唯一零点.(2)证明由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)递减,在(x0,+)递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x0-ax0=0,所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a.故当a0时,f(x)2a+aln2a.6.(1)解根据题意,得f(x)=ex-2x,则f(0)=1=b.由切线方程可得切点坐标为(0,0),将其代入y=f(x),得a=-1,故f(x)=ex-x2-1.(2)证明令g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1.由g(x)=ex-1=0,得x=0,当x(-,0),g(x)0,y=g(x)递增.所以g(x)min=g(0)=0,所以f(x)-x2+x.(3)解f(x)kx对任意的x(0,+)恒成立等价于f(x)xk对任意的x(0,+)恒成立.令(x)=f(x)x,x0,得(x)=xf(x)-f(x)x2=x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2=(x-1)(ex-x-1)x2.由(2)可知,当x(0,+)时,ex-x-10恒成立,令(x)0,得x1;令(x)0,得0x1.所以y=(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1),故(x)min=(1)=e-2,所以k(x)min=e-2.所以实数k的取值范围为(-,e-2).
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