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高考大题专项练六高考中的概率、统计与统计案例1.某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样的方法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样的方法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的平均值x和方差s2;(3)求这36名工人中年龄在(x-s,x+s)内的人数所占的百分比.解(1)把工厂36名工人的年龄数据分为9组,每组4人.在第一分段里抽到的年龄数据44对应的编号为2,故抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)得,x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1009.(3)由(2)得x=40,s=103,则x-s=3623,x+s=4313.由表可知,这36名工人中年龄在(x-s,x+s)内共有23人,所占的百分比为2336100%63.89%.2.(2018全国,文18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解(1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,写出其中任意一种或其他合理理由均可)3.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得上面柱状图.记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?解(1)当x19时,y=3800;当x19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为y=3800,x19,500x-5700,x19(xN).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(380070+430020+480010)=4000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(400090+450010)=4050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.4.某商场经销某一种电器商品,在一个销售季度内,每售出一件该电器商品获利200元,未售出的商品,每件亏损100元.根据以往资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示,现在经销商为下一个销售季度购进了125件该种电器,以n(单位:件,95n155)表示下一个销售季度内市场需求量,Y(单位:元)表示下一个销售季度内销售该电器的利润.(1)将Y表示为n的函数;(2)求频率分布直方图中a的值;(3)根据直方图估计利润Y不少于22 000元的概率.解(1)依题意知下一个销售季度内经销该电器所获利润Y与需求量n之间的关系为Y=200n-100(125-n),95n125,125200,126n155.(2)由0.010102+a10+0.01810+0.02210+0.02410=1,求得a=0.016.(3)而300n-10012522000,知n115(件).由频率分布直方图可知P(n115)=1-0.1-0.16=0.74,故估计利润Y不少于22000元的概率为0.74.5.学业水平考试后,某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计,结果如下(人数):项目数学优秀合格不合格英语优秀703020合格60240b不合格a2010已知英语、数学的优秀率分别为24%,30%(注:合格人数中不包含优秀人数).(1)求a,b的值;(2)现按照英语成绩的等级,采用分层抽样的方法,从数学不合格的学生中选取6人,若再从这6人中任选2人,求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率.解(1)设该校高二学生共有x人,已知英语优秀的有70+30+20=120(人),依题意得120x=0.24,解得x=500.故70+60+a500=0.3,解得a=20,由学生总数为500人,得b=30.(2)由题意得,在抽取的数学不合格的6人中,英语优秀的应抽取2人,分别记为a1,a2;英语合格的应抽取3人,分别记为b1,b2,b3;英语不合格的应抽取1人,记为c,从中任取2人的所有结果有15种,这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的基本事件有a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,共6种,因此这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率为615=25.6.(2018全国,文18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(以上给出了4种理由,写出其中任意一种或其他合理理由均可)(2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2=40(1515-55)220202020=106.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.7.(2018河北石家庄一模)小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格:日均派送单数5254565860频数/天2030202010回答下列问题:根据以上数据,设每名派送员的日工资为X(单位:元),试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差;结合中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1 971.36)解(1)甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为y=100+n,nN;乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为y=140,n55,nN,12n-520,n55,nN.(2)由表格可知,甲方案中,日薪为152元的有20天,日薪为154元的有30天,日薪为156元的有20天,日薪为158元的有20天,日薪为160元的有10天,则x甲=1100(15220+15430+15620+15820+16010)=155.4(元),s甲2=1100(20(152-155.4)2+30(154-155.4)2+20(156-155.4)2+20(158-155.4)2+10(160-155.4)2=6.44.乙方案中,日薪为140元的有50天,日薪为152元的有20天,日薪为176元的有20天,日薪为200元的有10天,则x乙=1100(14050+15220+17620+20010)=155.6,s乙2=110050(140-155.6)2+20(152-155.6)2+20(176-155.6)2+10(200-155.6)2=404.64.答案一:由以上的计算可知,虽然x甲x乙,但两者相差不大,且s甲2远小于s乙2,即甲方案日薪收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,x甲x乙,即甲方案日薪的平均数小于乙方案日薪的平均数,所以小明应选择乙方案.
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