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突破51 带电粒子在组合场中的运动问题1. 组合场：指磁场与电场或重力场同时存在，但各位于一定的区域内且并不重叠的情况，带电粒子在一个场中只受一个场力的作用。2. 三种场力的特点比较 (1) 重力的大小为mg,方向竖直向下,重力做功与路径无关,其数值除与带电粒子的质量有关外,还与初、末位置的高度差有关。 (2) 电场力的大小为qE,方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关,电场力做功与路径无关,其数值除与带电粒子的电荷量有关外,还与初、末位置的电势差有关。 (3) 洛伦兹力大小为qvB,方向垂直于v和B所决定的平面,无论带电粒子做什么运动,洛伦兹力都不做功。 说明：电子、质子、粒子、带电离子等微观粒子在叠加场中运动时,若试题没有明确说明考虑重力时就不计重力,但质量较大的质点(如带电微粒)在叠加场中运动时,除试题说明不计重力,通常都要考虑重力。 3. 带电粒子在组合场中的运动规律（1）带电粒子在匀强电场中，若初速度与电场线平行，做匀变速直线运动；若初速度与电场线垂直，做类平抛运动。（2）带电粒子在匀强磁场中，若速度与磁感线平行，做匀速直线运动；若速度与磁感线垂直，做匀速圆周运动。4. 带电粒子在组合场中运动的处理方法分析带电粒子在各种场中的受力情况和运动情况,一般在电场中做类平抛运动,在磁场中做匀速圆周运动。 正确地画出粒子的运动轨迹图,在画图的基础上特别注意运用几何知识,寻找关系。 选择物理规律,列方程。对类平抛运动,一般分解为初速度方向的匀速运动和垂直初速度方向的匀加速运动;对粒子在磁场中做匀速圆周运动,应注意一定是洛伦兹力提供向心力这一受力条件。 注意确定粒子在组合场交界位置处的速度大小与方向。该速度是联系两种运动的桥梁。4. 解决带电粒子在组合场中运动问题的思路方法简化图【典例1】如图所示，M、N、P为很长的平行边界，M、N与M、P间距分别为l1、l2，其间分别有磁感应强度为B1和B2的匀强磁场区域，磁场和方向垂直纸面向里，B1B2，有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以某一初速度垂直边界N及磁场方向射入MN间的磁场区域。不计粒子的重力。求：(1)要使粒子能穿过磁场进入磁场，粒子的初速度v0至少应为多少；(2)若粒子进入磁场的初速度v1，则粒子第一次穿过磁场所用时间t1是多少；(3)粒子初速度v为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域。【答案】(1)(2)(3)t1T。(3)设粒子速度为v时，粒子在磁场中的轨迹恰好与P边界相切，轨迹如图乙所示，由Bqvm可得R1，R2，由几何关系得sin ，粒子在磁场中运动有R2R2sin l2，解得v。【典例2】如图所示，内圆半径为r、外圆半径为3r的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U，从靠近M板处由静止释放质量为m、电荷量为q的正离子，经过电场加速后从N板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场。求：(1)离子从N板小孔射出时的速率；(2)离子在磁场中做圆周运动的周期；(3)要使离子不进入小圆区域，电压U的取值范围。【答案】(1) (2)(3)U由几何关系得R02(3r)2(R0r)2，解得R04r，需满足的条件为RR0，又qvBm，qUmv2，联立解得U。【典例3】平面直角坐标系xOy中，第象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。【答案】(1)v0，与x轴正方向成45角斜向上(2)【解析】(1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有v联立式得vv0。(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得Fma 又FqE设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有qvBm 由几何关系可知RL联立式得。【典例4】如图所示装置中，区域和中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E和；区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、带电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从左边界O点正上方的M点以速度v0水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60角射入区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入区域的匀强电场中求：(1)粒子在区域匀强磁场中运动的轨迹半径； (2)O、M间的距离；(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间【答案】(1)(2)(3)(2)设粒子在区域电场中运动时间t1，加速度为a.则有qEma，v0tan 60at1，即t1O、M两点间的距离为Lat.课后作业1. 在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P和P3，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图8226所示已知离子P在磁场中转过30后从磁场右边界射出在电场和磁场中运动时，离子P和P3()A在电场中的加速度之比为11B在磁场中运动的半径之比为1C在磁场中转过的角度之比为12D离开电场区域时的动能之比为13【答案】BCD【解析】磷离子P与P3电荷量之比q1q213，质量相等，在电场中加速度a，由此可知，a1a213，选项A错误；离子进入磁场中做圆周运动的半径r，又qUmv2，故有r，即r1r21，选项B正确；设离子P3在磁场中偏角为，则sin ，sin (d为磁场宽度)，故有sin sin 1，已知30，故60，选项C正确；全过程中只有电场力做功，WqU，故离开电场区域时的动能之比即为电场力做功之比，所以Ek1Ek2W1W213，选项D正确2.如图所示，两平行金属板间距为d，电势差为U，板间电场可视为匀强电场；金属板下方有一磁感应强度为B的匀强磁场。带电量为q、质量为m的粒子，由静止开始从正极板出发，经电场加速后射出，并进入磁场做匀速圆周运动。忽略重力的影响。求：(1)匀强电场场强E的大小。(2)粒子从电场射出时速度v的大小。(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R。【答案】：(1)(2) (3) 3.如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域、中，A2A4与A1A3的夹角为60。一质量为m、电荷量为q的粒子以某一速度从区的边缘点A1处沿与A1A3成30角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于A2A4的方向经过圆心O进入区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求：(1)画出粒子在磁场和中的运动轨迹；(2)粒子在磁场和中的轨迹半径R1和R2的比值；(3)区和区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。【答案】：(1)见解析图(2)21(3)【解析】： (1)画出粒子在磁场和中的运动轨迹如图所示。(2)设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出，用B1、B2，R1、R2，T1、T2分别表示在磁场、区的磁感应强度、轨迹半径和周期。设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直于A2A4进入区磁场，连接A1A2，A1OA2为等边圆心角A1A2O60，带电粒子在区磁场中运动的时间为t1T1在区磁场中运动的时间为t2T2带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间tt1t2由以上各式可得B1，B2。4. 如图所示，直角坐标系中的第象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在x轴上的a点以速度v0与x轴成60角射入磁场，从yL处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x2L处的c点。不计粒子重力。求：(1)磁感应强度B的大小；(2)电场强度E的大小；(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)带电粒子在磁场中运动轨迹如图，带电粒子在电场中运动时间为：t2所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为：。5. 如图所示的平面直角坐标系xOy，在第象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第象限，且速度与y轴负方向成45 角，不计粒子所受的重力求：(1)电场强度E的大小；(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值【答案】(1)(2)v0方向指向第象限与x轴正方向成45角(3)【解析】带电粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动设速度方向与x轴正方向的夹角为，则tan 1，45即到a点时速度方向指向第象限与x轴正方向成45角(3)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，有qvBm由此得R从上式看出，R，当R最大时，B最小由题图可知，当粒子从b点射出磁场时，R最大由几何关系得RmaxL将代入式得B的最小值为Bmin.6. 如图所示，在xOy坐标系的0yd的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场，在dy2d的区域内分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，MN为电场和磁场的交界面，ab为磁场的上边界。现从原点O处沿x轴正方向发射出速率为v0、比荷(电荷量与质量之比)为k的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与ab相切并返回电场。已知电场强度E，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求：(1)粒子从O点第一次穿过MN时的速度大小和水平位移的大小；(2)磁场的磁感应强度B的大小。【答案】：(1)2v0(2)设粒子以与x轴正方向成角的速度进入磁场tan ，解得60根据RRcos d，解得R由牛顿第二定律可得qvBm，解得B。7. 如图所示，空间中有一直角坐标系，其第一象限中在圆心为O1、半径为R、边界与x轴和y轴相切的圆形区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B；第二象限中存在方向竖直向下的匀强电场。现有一群质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从圆形区域边界与x轴的切点A处沿纸面上的不同方向射入磁场中。已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为R，其中沿AO1方向射入的粒子恰好到达x轴上与O点距离为2R的N点，不计粒子的重力和它们之间的相互作用力，求：(1)粒子射入磁场时的速度大小及电场强度的大小；(2)速度方向与AO1夹角为60(斜向右上方)的粒子到达x轴所用的时间。【答案】：(1)(2)【解析】：(1)设粒子射入磁场时的速度大小为v，因在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力得qvBm，解得v设粒子的轨迹圆心为C，从M点射出磁场，连接O1M、MC、AC，由几何关系知，四边形O1MCA是菱形，故CM垂直于x轴，易得速度方向偏转角度等于圆心角150，粒子在磁场中运动的周期为THORRsin 60Rt32，解得t3(1)故粒子到达x轴的时间为tt1t2t3。
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