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考点规范练54古典概型一、基础巩固1.在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.34B.58C.12D.14答案C解析由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共4种,其中数字2是取出的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共2种,故所求的概率为24=12.2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925答案B解析从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.3.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()A.16B.112C.536D.19答案B解析依题意,以(x,y)为坐标的点共有66=36(个),其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率为336=112.4.(2018广东佛山质检)袋中有5个球,这些球除了颜色和标号外,其余均相同,其中红色球3个,标号分别为1,2,3;蓝色球2个,标号分别为1,2.从袋中任取两个球,则这两个球颜色不同,且标号之和不小于4的概率为()A.310B.25C.35D.710答案A解析设红球为A1,A2,A3,蓝色球为B1,B2,任取两个球,总的事件包括:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A1A2,A1A3,A2A3,B1B2,共10个,其中满足题意的有A2B2,A3B1,A3B2,共3个,所以这两个球颜色不同,且标号之和不小于4的概率为310.5.(2018辽宁六校协作体期中)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A.12B.516C.716D.1116答案C解析四个人坐着或站起来的情形共有24=16(种).没有相邻的两个人站起来,即硬币的正面不能相邻,有以下几种情况:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共7种.由古典概型概率公式可得,没有相邻的两个人站起来的概率为716.6.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票2张,五元餐票1张,若他从口袋中随机地摸出2张,则其面值之和不少于四元的概率为()A.310B.25C.12D.35答案C解析小明口袋里共有5张餐票,随机地摸出2张,基本事件总数n=10,其面值之和不少于四元包含的基本事件数m=5,故其面值之和不少于四元的概率为mn=510=12.7.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a,从集合1,3,5中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为()A.16B.13C.14D.12答案A解析由题意可知向量m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.因为mn,即mn=0,所以a1+b(-1)=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共2种,故所求的概率为16.8.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案56解析(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为3036=56.(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则A表示“向上的点数之和不小于10”,A的基本事件共有6个,所以P(A)=636=16,所以P(A)=1-P(A)=56.9.已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中2个香菇青菜包、1个肉包、1个豆沙包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取2个包子,则取出的这2个包子中有香菇青菜包的概率为.答案710解析不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.记“取出的2个包子中有香菇青菜包”为事件A,则事件A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个.故所求的概率为P(A)=710.10.为迎接校运动会的到来,某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动).(1)若用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队,求女志愿者被抽到的人数;(2)若从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护),任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作,则抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率是多少?解(1)由题意可知每个志愿者被抽中的概率是1030=13,故女志愿者被抽到的人数为1813=6.(2)设喜欢运动的女志愿者为A,B,C,D,E,F,其中A,B,C,D懂得医疗救护,则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法,其中2人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种取法.设“抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作”为事件A,则抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率P(A)=615=25.11.(2018广东佛山模拟)某游乐园为吸引游客,推出了一项有奖转盘活动.如图,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,每名游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况则奖励饮料一瓶.(1)求在一次活动中小亮获得玩具的概率;(2)请比较一次活动中小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素的个数是44=16,所以基本事件总数为n=16.记“xy3”为事件A,则事件A包含的基本事件共有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=516,故小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件B,“3xy516,所以一次活动中小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.二、能力提升12.(2018湖南、江西十四校联考)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为()A.0.2B.0.25C.0.4D.0.35答案C解析根据题意,该地未来三天恰有一天下雨,就是三个数字xyz中只有一个数字在集合1,2,3,4中,考查所给20组数据,以下8组数据符合题意,按次序分别为925,458,683,257,027,488,730,537,则所求概率P=820=0.4,故选C.13.设a1,2,3,4,b2,4,8,12,则函数f(x)=x3+ax-b在区间1,2上有零点的概率为()A.12B.58C.1116D.34答案C解析因为f(x)=x3+ax-b,所以f(x)=3x2+a.因为a1,2,3,4,所以f(x)0,所以函数f(x)在区间1,2上为增函数.若存在零点,则f(1)f(2)0,解得a+1b8+2a.因此,可使函数在区间1,2上有零点的情况为:a=1,2b10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况;a=2,3b12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=3,4b14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=4,5b16,故b=8,b=12,共有2种情况.所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.而构成函数共有44=16种情况,根据古典概型可得有零点的概率为1116.14.(2018上海崇明区二模)我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为石.(精确到小数点后一位数字)答案169.1解析设这批米内夹谷约为x石,由题意结合古典概型计算公式,可得x1534=28254,解得x=281534254169.1.15.空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.指数级别类别户外活动建议050优可正常活动51100良101150轻微污染易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体力消耗和户外活动151200轻度污染201250中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症状,老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动251300中度重污染301500重污染健康人运动耐受力降低,有明显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病人应当留在室内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区2017年10月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这60天中属轻度污染的天数;(2)求这60天空气质量指数的平均值;(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为x,y,求事件|x-y|150的概率.解(1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在151200之间,共有0.0035060=9(天).(2)由直方图知这60天空气质量指数的平均值为x=250.1+750.4+1250.3+1750.15+2250.05=107.5.(3)第一组和第五组的天数分别为600.1=6,600.05=3,则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种,由|x-y|150知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有18种,用M表示|x-y|150这一事件,则P(M)=1836=12.三、高考预测16.为了了解某学段1 000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干名学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组13,14);第二组14,15);第五组17,18.由上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为3819,且第二组的频数为8.(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数(精确到0.01秒);(2)若从第一、五组中随机取出两个人的成绩,求这两个人的成绩的差的绝对值大于1秒的概率.解(1)设前三组的频率依次为3x,8x,19x,则3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,即x=0.02,故第二组的频率为0.16,又第二组的频数为8,所以抽取的学生总人数为80.16=50,由此可估计学生中百米成绩在16,17)内的人数为0.3250=16.设所求中位数为m,由第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06,0.16,0.38,则0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得m15.74.故估计学生中百米成绩在16,17)内的人数为16,所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒.(2)记“两个人成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A.由(1)可知从第一组抽取的人数为0.02350=3,不妨记为a,b,c;从第五组抽取的人数为0.0850=4,不妨记为1,2,3,4.则从第一、五组中随机取出两个人的成绩有ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34,共21种情况,其中两个人的成绩的差的绝对值大于1秒是来自不同的组,共有12种情况.故两个人的成绩的差的绝对值大于1秒的概率为1221=47.
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