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专题04 平面向量1平面向量的有关概念问题名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作零向量方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为2平面向量的线性运算(1)应用平行四边形法则与三角形法则进行向量的加法运算与减法运算，注意法则应用的区分，向量共起点时可以使用平行四边形法则；一个向量的终点在另一个向量的起点时，这两个向量的加法则可以使用三角形法则，如.(2)共线向量体现了两个向量在同向或反向的情况下其模的大小的等量关系，通常可表示为，其中，为确定的常数.3平面向量基本定理(1)平面向量基本定理反映了如何用平面内两个不共线的向量来唯一线性表示任意向量的原理，数学表达式为，此处要不共线，要唯一确定.通常把不共线的称为一组基底.应该明确基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为基底去表示平面内的任意一个向量.(2)当基底单位正交时（即垂直且模为1），可以建立平面直角坐标系，利用坐标来表示向量，也可以利用向量的起点、终点坐标的确定来表示向量，如若，则.(3)向量的坐标化线性运算：设，则，；若，则.4平面向量数量积的运算及其坐标化运算(1)掌握向量数量积运算的定义，理解其几何意义：在方向上的投影：.注意根据向量夹角的变化，其投影可能为负，可能为正，也可能为0.(2)掌握向量的运算法则及相关性质：如；若，则等，并作简单的应用.(3)掌握向量数量积的坐标化运算：设，则；若，则；.5平面向量的应用(1)应用向量考查模的大小或模的取值范围问题，可以从向量坐标化的角度进行处理，注意对模的使用，同时注意对等式含义的表述，如表示向量的终点在以为圆心，半径为的圆上等.也可以利用条件中所呈现的几何意义，结合向量数量积公式进行转化.(2)以向量为载体研究三角函数问题，利用向量数量积的坐标表示，确立三角函数关系式，并利用三角恒等变换化简为的形式，然后利用整体代换来考查函数的相关性质等.一、平面向量的概念及线性运算【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，若，则等于Aab BabCab Dab【答案】A【解析】.故选A【名师点睛】（1）对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性（2）平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素【例2】已知为内一点，且，若,三点共线，则的值为A BC D【答案】B【名师点睛】（1）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线（2）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足(x，yR)，则P，A，B共线xy=1.二、平面向量基本定理及坐标表示【例3】如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为A1 B C D【答案】D【名师点睛】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【例4】已知向量，若与共线，则A BC D【答案】B【解析】依题意，得，因为与共线，则，解得，故选B【名师点睛】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的三、平面向量的数量积【例5】已知是边长为的等边三角形，点在边上，且，则的值为A B C D【答案】B【名师点睛】两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角 【例6】在平面直角坐标系中，已知点，则向量与的夹角的余弦值为A BC D【答案】B【解析】依题意，故的夹角的余弦值为，故选B【名师点睛】两向量夹角的范围为0，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围四、平面向量的应用【例7】已知非零向量，是一组平行向量，且数列满足，则数列的前项和为_.【答案】【名师点睛】向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题【例8】G是的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角A90 B60C45 D30【答案】D【解析】因为G是的重心，所以有.又，所以abc111，设c，则有ab1，由余弦定理可得，cosA，所以A30，故选D. 【名师点睛】若点G是的重心，则或(其中P为平面内任意一点)反之，若，则点G是的重心1已知向量，则向量在向量上的投影是A2 B1 C1 D2【答案】D【解析】向量在向量上的投影是，选D2已知向量和的夹角为，且，则等于A B C D【答案】D3已知正方形中，点，分别是，的中点，那么A B C D【答案】D【解析】因为点是的中点，所以， 点是的中点，所以， 所以，故选D 4已知向量，且，则实数A 3 B 1 C 4 D 2【答案】A【解析】,根据得,解得,故选A5已知向量满足，若，则的最小值为A BC D【答案】C6在中，点是的重心，则的最小值是A BC D【答案】B【解析】设的中点为，因为点是的重心，所以，再令，则， ，当且仅当时取等号，故选B7已知抛物线的焦点到准线的距离为2，其中，且，（为坐标原点），则A BC D【答案】B【解析】依题意，抛物线，准线方程为，故在抛物线C上.因为，所以，则，故选B8已知向量的夹角为，且，若，点是线段的中点，则_.【答案】9已知两个不共线向量的夹角为，M、N分别为线段OA、OB的中点，点C在直线MN上，且，则的最小值为_【答案】【解析】因为三点共线，所以，所以，表示原点与直线上的点的距离的平方，它的最小值为，故填1（2018新课标全国理科）已知向量，满足，则A4B3C2D0【答案】B【解析】因为所以选B.2（2018新课标全国理科）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A5 B6C7 D8【答案】D3（2017新课标全国理科）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD【答案】B【解析】如图所示，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选B【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决4（2018新课标全国理科）已知向量，若，则_【答案】5（2017新课标全国理科）已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=_【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60的菱形的对角线的长度，则为.【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
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