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第8讲解三角形应用举例1某人向正东方向走x km后，顺时针转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，则x()A. B2 C2 或 D32两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a km C2a km D.a km3如图X381，一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()图X381A10 海里 B10 海里 C20 海里 D20 海里4(2014年四川)如图X382，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)图X3825(2016年河南信阳模拟)某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是_分钟6(2017年浙江)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.7(2016年上海)已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_8(2017年广东揭阳一模)如图X383，在ABC中，B，AC1，点D在边AB上，且DADC，BD1，则DCA_.图X3839(2017年新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Acos A0，a2 ，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积10(2017年广东广州一模)如图X384，在ABC中， 点P在BC边上， PAC60，PC2，APAC4.(1)求ACP；(2)若APB的面积是， 求sinBAP.图X384第8讲解三角形应用举例1C解析：如图D105，在ABC中，AC，BC3，ABC30.由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos ABC.3x296xcos 30，解得x或2 . 图D105 图D1062D解析：如图D106，依题意，得ACB120.由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 120a2a22a23a2，ABa km.故选D.3A解析：在ABC中，BAC502030，ABC4065105，AB400.520(海里)，则ACB45.由正弦定理，得.解得BC10 (海里)故选A.460解析：根据已知的图形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得.所以BC20.6060(m)540解析：设两船在B处碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC10，AB21x，BC9x，ACB120，由余弦定理，知(21x)2100(9x)22109xcos 120，整理，得36x29x100.解得x或x(舍)故舰艇到达渔船的最短时间是40分钟6.解析：取BC中点E，DC中点F，连接AE，BF.由题意知AEBC，BFCD.在ABE中，cosABC，cosDBC，sinDBC.SBDCBDBCsinDBC.cosDBC12sin2DBF.sinDBF. cosBDCsinDBF.综上所述，BDC的面积为，cosBDC.7.解析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为.设外接圆半径为R，则2R.所以R.8.或解析：方法一，设AACD，0，则ADC2，又AC1，由正弦定理，得CD.在BDC中，由正弦定理，得cos sinsinsin，由00，2，得2或2或.方法二，过点C作CEAB于点E，设AACD，则CDB2.在RtAEC中，CEsin .在RtCED中，DE.在RtCEB中，BEsin .由BD1，得sin 1sin cos 2sin sin 2sin 2cos 2sin 22cos cos cos2或.9解：(1)由sin Acos A0，得tan A.所以A.在ABC中，由余弦定理，得284c24ccos，即c22c240.解得c6 (舍去)，c4.(2)由题设可得CAD.所以BADBACCAD.所以1.又ABC的面积为42sinBAC2 ，所以ABD的面积为.10解：(1)在APC中， 因为PAC60，PC2，APAC4，由余弦定理，得PC2AP2AC22APACcosPAC.所以22AP2(4AP)22AP(4AP)cos 60.整理，得AP24AP40.解得AP2.所以AC2.所以APC是等边三角形所以ACP60.(2)方法一，由于APB是APC的外角，所以APB120.因为APB的面积是， 所以APPBsinAPB.所以PB3.在APB中， AB2AP2PB22APPBcosAPB2232223cos 12019, 所以AB.在APB中， 由正弦定理，得.所以sinBAP.方法二，如图D107，作ADBC, 垂足为点D.图D107因为APC是边长为2的等边三角形， 所以PD1，AD，PAD30.因为APB的面积是， 所以ADPB.所以PB3.所以BD4.在RtADB中， AB，所以sinBAD， cosBAD.所以sinBAPsin(BAD30)sinBADcos 30cosBADsin 30.
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