量子力学微扰理论.ppt

1,量子力学第五章微扰理论,缪灵miaoling,2,可解析求解模型,3,一、近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解复杂问题的近似（解析）解。,二、近似解问题分为两类,1、体系Hamilton量不是时间的显函数定态问题,（1）定态微扰论；（2）变分法。,2、体系Hamilton量显含时间状态之间的跃迁问题,（1）与时间t有关的微扰理论；（2）常微扰。,4,1非简并定态微扰理论,2简并微扰理论及其应用,3变分法与氦原子基态,5,平衡态附近的泰勒展开,6,1非简并定态微扰理论,一、微扰体系的Schrdinger方程,其中H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En(0)，本征矢n(0)。则：,7,当H0时引入微扰，使体系能级发生移动，由En(0)En，状态由n(0)n。,8,微扰体系的定态Schrdinger方程,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,其中是很小的实数，表征微扰程度的参量。,因为En、n都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其展开成的幂级数：,其中En(0),En(1),2En(2),.分别是能量的0级近似、1级近似和2级近似等。,而n(0),n(1),2n(2),.分别是状态矢量0级近似、1级近似和2级近似等。,9,乘开得：,代入Schrdinger方程得：,10,根据等式两边同幂次的系数应该相等:,整理后得：,体系的能量和态矢为,11,二、非简并定态的微扰近似,1、态矢和能量的一级近似,(1)能量一级修正En(1),左乘n(0)|,利用本征基矢的正交归一性：,其中能量的一级近似等于微扰Hamilton量在0级态矢中的平均值,12,二、非简并定态的微扰近似,左乘m(0)|,（2）态矢的一级修正n(1),13,14,注意,（2）态矢的一级修正n(1),15,能量高阶近似,方程左乘态矢n(0)|,16,低级微扰近似结果,17,三、微扰理论适用条件,18,微扰适用条件表明：,（2）|En(0)Em(0)|要大，即能级间距要宽。,例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即En=-Z2e2/(22n2)(n=1,2,3,.)可见，n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。,（1）Hmn要小，即微扰矩阵元要小；,物理意义,19,表明微扰态矢n可以看成是无微扰态矢m(0)的线性叠加。,（2）展开系数Hmn/(En(0)-Em(0)表明第m个态矢m(0)对第n个态矢n的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态影响最大。因此态矢一阶近似无须计算无限多项，只要算出最近邻的有限项即可。,（3）由En=En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)加上微扰Hamilton量H在无微扰态n(0)中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。,（1）在一阶近似下：,讨论,20,例：已知某表象中Hamilton量的矩阵形式,（1）设c1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。,解：,（1）c1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：,21,H0是对角矩阵，是H0在自身表象中的形式。所以，0级近似的能量和态矢为：,E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2,由非简并微扰公式,能量一级修正：,22,能量二级修正为：,23,准确到二级近似的能量本征值为：,设H的本征值是E，可得久期方程：,可得：,(3)将准确解按c(1)展开,微扰论二级近似结果，与精确解展开式，不计c4及以后高阶项的结果相同。,(2)精确解：,24,例：一电荷为e的线性谐振子，受恒定弱电场作用。电场沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（1）带电谐振子的Hamilton量,将Hamilton量分成H0+H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。,25,（2）写出H0的本征值和本征函数E(0),n(0),（3）计算En(1),积分等于0是因为被积函数为奇函数所致。,26,（4）计算能量二级近似En(2),欲计算能量二级修正，首先应计算Hmn矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,金蝉脱壳！,27,对谐振子有；En(0)-En-1(0)=,En(0)-En+1(0)=-,28,（5）态矢量一级近似,对谐振子有；En(0)-En-1(0)=,En(0)-En+1(0)=-,29,2.电谐振子的精确解,实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：,其中x=xe/(2)，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低e22/(22)，而平衡点向右移动了e/2距离。,30,周世勋量子力学教程P172，5.3,31,2简并微扰理论及其应用,上节，我们研究了0级波函数为非简并情况下的微扰理论。那么，如果一微扰体系的0级近似为简并态，如何运用微扰理论对其分析得出各级近似呢？,一、简并定态微扰理论,32,简并本征态,本征值方程,共轭方程,33,这里En(0)是简并的，属于H(0)的本征值En(0)有k个归一化本征函数：|n1,|n2,.,|nk;n|n=,那么，在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级近似。,0级近似波函数应从这k个|n及其线性叠加中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程。,简并本征态,本征值方程,共轭方程,34,左乘n|得：,2、0级近似波函数和一级近似能级,系数c由一级方程定出,35,上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组，它有不全为零解的充要条件是系数行列式为零，即,这就是微扰算符H的久期方程，解此方程，可得能量的一级修正En(1)的k个根：En(1),=1,2,.,k，体系能级En=En(0)+En(1)。若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将k度简并完全消除；若En(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。,微扰算符的本征值方程,36,为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把En(1)之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,.,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数。,为了能表示出c是对应与第个能量一级修正En(1)的一组系数，我们在其上加上角标而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：,37,例：一粒子Hamilton量的矩阵形式为：H=H0+H，其中,求：能级的一级近似和波函数的0级近似。,解,H0的本征值是三重简并的，这是一个简并微扰问题。,E(1)(E(1)2-2=0,(1)能量一级近似由久期方程|H-E(1)I|=0得：,实例,38,解得：E(1)=0,E1(1)=-E2(1)=0E3(1)=+,能级一级近似：,简并完全消除,(2)0级近似波函数,将E1(1)=代入方程，可得对应能级E1的0级近似波函数1(0),归一化,39,归一化,将E2(1)=0代入方程，可得对应能级E2的0级近似波函数2(0),将E3(1)=代入方程，可得对应能级E3的0级近似波函数3(0),同理可得,40,1、Stark效应,氢原子在外电场作用下产生谱线分裂的现象，称为Stark效应。,电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，第n个能级有n2度简并。加入外电场后，势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark效应可用简并的微扰理论予以解释。,2、外电场下氢原子Hamilton量,二、氢原子的一级Stark效应,41,3、H0的本征值和本征函数,下面我们只讨论n=2的情况，这时简并度n2=4。,取外电场沿z正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多。例如，强电场107伏/米，而原子内部电场1011伏/米，二者差4个量级。所以，可以把外电场的影响作为微扰处理。,42,条件：H中H(t)定态H=H0+H,H,.,|n,.,45,量子力学变分法,46,基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数|(1),|(2),.,|(k),.为试探波函数，来计算能量平均值,其中最小的一个最接近基态能量E0，即,如果选取的试探波函数接近基态波函数，则H的平均值就接近基态能量E0。这样，我们就找到了一个计算基态能量和波函数的近似方法变分法。,使用此方法求基态近似，最主要的问题，就是：,如何寻找试探波函数？,47,试探波函数的选取直接关系到计算结果。如何选取试探波函数没有固定可循的法则，通常是根据物理上的直觉去猜测。,（1）根据体系Hamilton量的形式和对称性推测合理的试探波函数；,（2）试探波函数要满足问题的边界条件；,（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；,（4）若体系Hamilton量可以分成两部分H=H0+H1，而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。,2、试探波函数的选取,48,有了试探波函数后，我们就可以计算,能量平均值是变分参数的函数，欲使取最小值，则要求：,上式就可定出试探波函数中的变分参量取何值时有最小值，而此时的就可作为基态近似能量，试探波函数可作为基态近似波函数。,3、变分方法,49,例：一维简谐振子的基态,一维简谐振子Hamilton量：,其本征函数是：,下面我们利用变分法求谐振子基态。首先构造试探波函数。,50,A归一化常数，是变分参量。因为,1.(x)是光滑连续的函数，关于x=0点对称；,2.满足边界条件即当|x|时，0；,3.(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。,51,1.对试探波函数定归一化系数：,2.能量平均值,52,3.变分求极值,得基态能量近似值为：,这正是精确的一维谐振子基态能量。若将,代入试探波函数，得：,正是一维谐振子基态波函数。此例得到了精确的结果，是因为，我们在选取试探波函数时，对体系的物理特性（Hamilton量）进行了全面的分析，构造出了非常合理的试探波函数。,53,氦原子由带正电2e的原子核与核外2个电子组成。核的质量比电子质量大得多，可认为核固定不动。氦原子Hamilton算符：,用变分法求氦原子基态能量。,氦原子Hamilton量,其中,其中H0是两个电子独立在核电场中运动的Hamilton量，所以H0基态本征函数可以用分离变量法解出。,二、氦原子基态（变分法）,1、氦原子的Hamilton算符,将H分成两部分,54,试探波函数,令：,由于H1,H2是类氢原子的Hamilton量，其本征函数已知为：,当二核外电子有相互作用时，它们相互起屏蔽作用，使得核有效电荷不是2e，因此可选Z为变分参数。,2、试探波函数的选取,H0的本征函数,将其作为氦原子基态试探波函数。,变分参数的选取,55,原子物理与量子力学,哈尔滨理工大学应用科学学院应用物理系教案来源,56,Thankyou!,ccmshustmiaoling,