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2019版中考数学总复习 第16讲 相似三角形一、 知识清单梳理知识点一:比例线段 关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质: adbc;(b、d0)(2)合比性质:;(b、d0)(3)等比性质:k(bdn0)k.(b、d、n0)已知比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子,也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例:若,则 .3.平行线分线段成比例定理(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例.即如图所示,若l3l4l5,则.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例基本性质求解.例:如图,已知D,E分别是ABC的边BC和AC上的点,AE=2,CE=3,要使DEAB,那么BC:CD应等于 .(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例.即如图所示,若ABCD,则.(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似如图所示,若DEBC,则ADEABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=0.618,那么线段AB被点C黄金分割其中点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比例:把长为10cm的线段进行黄金分割,那么较长线段长为 cm知识点二 :相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图,若AD,BE,则ABCDEF.判定三角形相似的思路:条件中若有平行线,可用平行线找出相等的角而判定;条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例;条件中若有两边对应成比例可找夹角相等;条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例;条件中若有等腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似 如图,若AD,则ABCDEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似如图,若,则ABCDEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等,对应边成比例(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比例:(1)已知ABCDEF,ABC的周长为3,DEF的周长为2,则ABC与DEF的面积之比为9:4.(2) 如图,DEBC, AFBC,已知SADE:SABC=1:4,则AF:AG=1:2. 7.相似三角形的基本模型(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图形,可以迅速找到解题思路,事半功倍.(2)证明等积式或者比例式的一般方法:经常把等积式化为比例式,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得出结果.二、经典试做1已知ABCDEF,A80,B20,那么DEF的各角的度数分别是_2如图27211,直线CDEF,若OE7,CE4,则_. 图272113已知ABCABC,如果AC6,AC2.4,那么ABC与ABC的相似比为_4如图若BADCAE,EC,则_.5如图27213,DEFGBC,图中共有相似三角形()A2对 B3对 C4对 D5对 图27213 6在ABC和ABC中,有下列条件:;AA;CC.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断ABCABC的共有()A1组 B2组 C3组 D4组7如图27214,BAC90,ADBC于点D,求证:AD2CDBD. 9如图27215,已知ABC,延长BC到点D,使CDBC. 取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(1)求的值;(2)若ABa,FBEC,求AC的长 图2721510如图27216,在RtABC中,A90,AB8,AC6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度过点D作DEBC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求出BDE的面积S与x之间的函数关系式;(3)当x为何值时,BDE的面积S有最大值,最大值为多少?4已知ABC和DEF相似且对应中线的比为34,则ABC和DEF的周长比为_5高为3米的木箱在地面上的影长为12米,此时测得一建筑物在水面上的影长为36米,则该建筑物的高度为_米7如图27226,直立在B处的标杆AB2.4 m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上)已知BD8 m,FB2.5 m,人高EF1.5 m,求树高CD. 图272269如图在ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DECD.(1)求证:ABFCEB;(2)若DEF的面积为2,求ABCD的面积 图272289如图27315,在68的网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和ABC的顶点均为小正方形的顶点(1)以O为位似中心,在网格图中作ABC,使ABC和ABC位似,且位似比为12;(2)连接(1)中的AA,求四边形AACC的周长(结果保留根号)图27315
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