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课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)(限时:50分钟)|夯实基础|1.xx毕节 将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为()A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+52.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+xx的值为()A.xxB.xxC.xxD.20193.xx枣庄 已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a0,则当x1时,y随x的增大而增大4.若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m2B.m2D.0m25.若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的解为()A.x1=1,x2=5B.x1=1,x2=3C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=56.二次函数y=ax2+bx的图象如图K15-1,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()图K15-1A.-3B.3C.-6D.97.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K15-2所示,则|a-b+c|+|2a+b|=()图K15-2A.a+bB.a-2bC.a-bD.3a8.若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是.9.xx淮安 将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是.10.xx株洲 如图K15-3,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(-1,0),点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:0a2;-1b5-1.以上结论中,正确的结论序号是.图K15-311.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.(2)若该抛物线的对称轴为直线x=52.求该抛物线所对应的函数表达式;把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?|拓展提升|12.xx永州 如图K15-4,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式.(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)如图K15-4,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M,N(点M,N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求PON的面积.图K15-413.xx怀化 如图K15-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式和直线AC的表达式.(2)请在y轴上找一点M,使BDM的周长最小,求出点M的坐标.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-5参考答案1.A2.D解析 抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),m2-m-1=0,m2-m=1,m2-m+xx=1+xx=2019.3.D解析 将a=1代入原函数表达式,令x=-1,求出y=2,由此得出A选项不符合题意;将a=-2代入原函数表达式,得y=-2x2+4x-1,令y=0,根据根的判别式=80,可得出当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,即B选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标小于零,可得出a的取值范围,由此可得出C选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的对称轴,结合二次函数的性质,即可得出D选项符合题意.4.A解析 由题意可知=4-4(m-1)0,m2,故选A.5.D解析 二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,-m2=2,解得m=-4,关于x的方程x2+mx=5可化为x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.6.B解析 抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,a0,-b24a=-3,即b2=12a.关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,=b2-4am0,即12a-4am0,即12-4m0,解得m3,m的最大值为3.7.D解析 根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,a0,又抛物线过坐标原点,c=0.抛物线的对称轴为直线x=-b2a,0-b2a1,解得-2ab1解析 根据抛物线y=x2+2x+m与x轴没有公共点可知,方程x2+2x+m=0没有实数根,判别式=22-41m1.9.y=x2+210.解析 由图象可知抛物线开口向上,a0,由抛物线经过A(-1,0),B(0,-2),对称轴在y轴的右侧可得a-b+c=0,c=-2,-b2a0,由此可得a-b=2,b0,故a=2+b2,综合可知0a2.将a=b+2代入0a2中,得0b+22,可得-2b0,b5-1.故答案为.11.解:(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,=(2m+1)2-4(m2+m)=10,不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.(2)x=-(2m+1)2=52,m=2,抛物线所对应的函数表达式为y=x2-5x+6.设抛物线沿y轴向上平移k个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线所对应的函数表达式为y=x2-5x+6+k.抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点,=25-4(6+k)=0,k=14,即把该抛物线沿y轴向上平移14个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.12.解:(1)设所求二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4,抛物线与y轴交于点E(0,3),a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.(2)存在一点G,使得EG+FG最小.抛物线的顶点A的坐标为(1,4),与点E(0,3)关于抛物线对称轴x=1成轴对称的点为E(2,3).如图,连接EF,设直线EF的函数表达式为y=kx+b,2k+b=3,b=-3,解得k=3,b=-3,即y=3x-3,当x=1时,y=0,即点G(1,0),使得EG+FG最小.(3)如图,连接AN,BN,过点N作NTy轴交AB,x轴分别于点S,T.在y=-x2+2x+3中,当y=0时,x1=-1,x2=3,则B(3,0).A(1,4),B(3,0),AB=25.设直线AB的函数表达式为y=mx+t,m+t=4,3m+t=0,解得m=-2,t=6,即y=-2x+6.设N(n,-n2+2n+3),则S(n,-2n+6),NS=-n2+4n-3.SABN=SANS+SBNS,12ABMN=12NS(3-1),MN=55(-n2+4n-3)=-55(n2-4n+3)=-55(n-2)2+55,当n=2,即N(2,3)时,MN最大,为55.PNAB,设直线PN的函数表达式为y=12x+c,且N(2,3),c=2,则y=12x+2,点P(0,2),SOPN=12OPxN=1222=2.13.解析 (1)利用待定系数法求抛物线和直线的表达式.(2)根据轴对称确定最短路线问题,作点D关于y轴的对称点D1,连接BD1,BD1与y轴的交点即为所求的点M,然后求出直线BD1的表达式,再求解即可.(3)可分两种情况(以C为直角顶点,以A为直角顶点)讨论,然后根据两直线垂直的关系求出P点所在直线的表达式,将直线和抛物线的表达式联立求出点P的坐标.解:(1)将点A(-1,0)和B(3,0)的坐标代入抛物线y=ax2+2x+c中,可得a-2+c=0,9a+6+c=0,解得a=-1,c=3,抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.令x=0,则y=3,点C的坐标为(0,3).设直线AC的表达式为y=kx+b,则-k+b=0,b=3,解得k=3,b=3.直线AC的表达式为y=3x+3.(2)如图,作点D关于y轴的对称点D1,连接BD1交y轴于点M,则点M即为所求.由抛物线表达式可得D点的坐标为(1,4),则D1的坐标为(-1,4).设直线BD1的表达式为y=k1x+b1,则3k1+b1=0,-k1+b1=4,解得k1=-1,b1=3,则直线BD1的表达式为y=-x+3,令x=0可得y=3,则点M的坐标为(0,3).(3)存在.如图,当ACP以点C为直角顶点时,易得直线CP的表达式为y=-13x+3.由y=-13x+3,y=-x2+2x+3,得x1=0,y1=3(舍去)x2=73,y2=209,P点坐标为73,209.如图,当ACP是以点A为直角顶点时,易得直线AP的表达式为y=-13x-13.由y=-13x-13,y=-x2+2x+3,得x1=-1,y1=0(舍去)x2=103,y2=-139,P点坐标为103,-139.综上,符合条件的点P的坐标为73,209或103,-139.
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