大学物理动量和角动量演示文档

大学物理,第四章 动量和角动量,本章主要内容：,1. 动量定理及守恒定律,2. 角动量定理及守恒定律,3. 质心运动定理,4. 碰撞,一、动 量,质点动力学问题,度量质点运动的量,动 量,与质量和速度有关的状态量,1、瞬时性2、矢量性3、相对性,在直角坐标系中,在国际单位制（SI）千克米/秒（kgm/s）,二、质点的动量定理(动量的变化与作用量的关系）,由牛顿第二定律：,表示力的时间累积，叫时间d t 内合外力 的冲量。,1）微分形式：,2）积分形式：,若为恒力：,1、 冲量(impulse),力对时间的积累产生的效果是什么呢 ？,冲量是力对时间的积累。,2、动量定理,1）微分形式：,由 得：,在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。,2）积分形式：,对上式积分，,1、反映了过程量与状态量的关系。,3、只适用于惯性系。,从动量定理可以知道，在相等的冲量作用下，不同质量的物体，其速度变化是不相同的，但它们的动量的变化却是一样的，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地反映了物体的运动状态。因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。,3、动量定理分量形式,即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。,在直角坐标系中，动量定理的分量式为,在低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为,1) 冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力 很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。,若冲力很大, 其它外力可忽略时, 则：,若其它外力不可忽略时, 则 是合外力的平均。,2) 平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。,即：,4、动量定理的应用 增大、减小冲力作用,例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。 若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？,解 设人的质量为M，从高h 处跳向地面，落地的速率为v0 ，与地面碰撞的时间为t ，重心下移了s 。,由动量定理得：,设人落地后作匀减速运动到静止，则：,设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：,可能发生骨折。,设人的体重为70 kg，此时平均冲力：,例4-2 质量为m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为10-3s。求1)地板对球的平均冲力 2)冲力的冲量和重力的冲量。,中的F 实为合外力，除冲力外还有重力。,即,2)冲力的冲量：,重力的冲量：,外力的冲量可忽略,由两个质点组成的质点系：,n 个质点组成的质点系：, 质点系的动力学方程,即：,即质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。,三、质点系的动力学方程,1、微分形式：,动量定理的微分式,它表明在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于 系统在同一时间内动量的增量。,2 、积分形式：,由 得：,对上式积分，,动量定理的积分式,即：,四、质点系的动量定理：,内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。,3 、动量定理分量形式,即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量。,在直角坐标系中，动量定理的分量式为,解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平向右为正。,t 时刻系统的水平总动量：,t + dt 时刻系统的水平总动量:,dt 时间内水平总动量的增量：,由动量定理得：,例题4-3 一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为m = 500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计),一、动量守恒定律,对质点系，由,知，当,时,动量守恒定律,应用动量守恒定律时应注意,系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变，,在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。, 若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计。,当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量就保持不变。,不受外力。,外力矢量和为零, 动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。, 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。, 动量守恒定律只适用于惯性系。,例题4-4 质量为M，仰角为的炮车发射了一枚质量为m的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦，求(1)炮弹出口时炮车的速率；()发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为L)。,解()选炮车和炮弹为系统,地面为参考系,系统所受合外力为N,mg,Mg都沿竖直方向，水平方向合外力为零，系统总动量x分量守恒。设炮弹出口时相对于地面的水平速度为vx,炮身的反冲速度为vx,对地面参考系有,由相对速度的概念可得,得,负号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。,（）若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率,设炮弹经t1s出口，在t1s内炮车沿水平方向移动了,解得,负号表示炮身沿x轴负向后退。,例题4-5：光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均为m,弹簧的倔强系数为k，其一端固定在O点，另一端与滑块A接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块A脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱离，OC与竖直方向成60，求弹簧被压缩的距离x.,解：设滑块A离开弹簧时速度为v,在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒,A脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，B以初速v沿圆环轨道上升。,B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒,当滑块B沿半圆环轨道上升到C点时，满足,（4）,（1）、（2）、（3）、（4）联立求解可得,例题4-5如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车A和B，质量分别为m1和m2B不动，A以速度 与B碰撞，如已知两车的缓冲弹簧的劲度系数分别为k1和k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计）,解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止时，两车速度相等。,在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能守恒。,x1、x2分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律,相对静止时两车间的相互作用力,一、质心,质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心(简称质心：质点系的质量中心)的概念。,N个质点组成的系统,位矢分别为,质点系的动量为,取质量为,并与质点系具有相同动量的质点C,其位矢为,其速度为,，则有,C称为质点系的质心，,称为质心的位矢。,可以证明：质心相对质点系的位置与坐标系的选取无关，即质心相对于质点系本身是一个特定的位置。,引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得质心C的坐标,对质量连续分布的质点系,(1)几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。(2)有些物体的质心可能不在所求的物体上，但有明确的物理意义。(3)重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心与重心重合。,二、质心运动定理,为质心运动的加速度。由于,质心运动定理,作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度,说明,质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的运动不产生影响。,时，,质点系受的合外力在某个方向为零时， 在该方向的投影等于恒矢量，该方向动量守恒。,质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。,质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单。,例题4-6 一长为L，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度=0x/L .0为常量，x从轻端算起，求其质心。,解取坐标原点与轻端相重合，x轴沿棒长方向，如图，取质元,x,例题4-7 质量分别为m1和m2的两质点组成的质点系，质心处于静止状态。质量为m1的质点以半径r1，速率v1绕质心作匀速圆周运动，求质点m2的运动规律。,解 如图所示，取质心为坐标系的原点，可得 两质点的位矢满足如下方程,由于质心静止，所以质心的动量为零，即,即动量的大小为,如何描述质点系的运动？,SI 中 ： kgm 2 / s,的方向：用右手螺旋法则确定。,b）、相对性(1)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。(2)原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。 质点对参考点的角动量,1. 质点的角动量,C）、 的直角坐标系中的分量式,1、做圆周运动质点 m 对圆心O 的角动量,方向： 与 同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成右手螺旋关系,结论：做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。,方向：由右手螺旋定则确定。,质点对O点的角动量为：,3）若O 取在直线上，则：,质量为m 的质点作直线运动。,t1 时刻质点对O点的角动量为：,2、作直线运动质点的角动量,1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则,2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量,大小：,t2 时刻质点对O点的角动量为：,！参考点不能选择在直线上,2、质点系的角动量：,系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：,二、质点的角动量定理,将角动量 对时间求导，可得：,定义：作用于质点上的合外力对参考点的力矩,2、在直角坐标系中,方向：由右手螺旋定则确定。,4、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。,质点的角动量定理,质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。,力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力矩的矢量和（合力矩）等于各个力的合力的力矩。,和 是对同一惯性系中同一参考点而言的,3、相对性：依赖于参考点O 的选择。,（1）、质点角动量微分形式,（2）、质点角动量定理积分形式,角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。,力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。,例题4-8 质量为m、线长为l 的单摆，可绕点O 在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求: 摆线与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量； 摆球到达点 B 时，角速度的大小。,解 任意位置时受力为：重力；张力。,由角动量定理：,瞬时角动量：,重力对O 点的力矩为：,方向：垂直于纸面向里。,张力对O 点的力矩为零。,三、质点系的角动量定理：,作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。,系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：,方向：垂直板面向外，大小：,方向：垂直板面向里，大小：,作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。,2、积分形式：,质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。,1、微分形式：,只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关， 内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的 总角动量。,质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率 质点系的角动量定理。,一、 质点的角动量守恒定律,若质点所受的合力矩,若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。 质点的角动量守恒定律,例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。,1、有心力， 与位矢 在同一直线上，从而 。,2、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。,并不等于：,注意：,解 如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，t时间内行星径矢扫过的面积,由于行星只受有心力作用，其角动量守恒,例题4-9 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度)是常量。,面积速度:,例题4-10 我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度h1=226km，远地点的高度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期（地球半径R=6.37103km）,解 卫星轨道如图所示由于卫星所受地球引力为有心力，所以卫星对地球中心的角动量守恒,在远地点时，位矢的大小为,若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大小为,设卫星在远地点时的速率为v1,且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律可得,故有,设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为dS/dt，则卫星的运动周期,a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为,可得,例题补 用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率圆周运动， 其半径为r0 ，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。,解 选取平面上绳穿过的小孔O为原点。,所以小球对O 点的角动量守恒。,因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，则力 对O 点的力矩：,二、质点系的角动量守恒定律：, 角动量守恒定律,1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定 合外力矩等于零。,3、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。,4、适用于惯性系，也可适用于微观现象。,当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒。,例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。,2、分量形式的角动量守恒定律仍然成立。,三、力偶 力偶矩,大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。,合力矩：,例题4-11 两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？,解 选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。,系统所受外力如图。,产生力矩的只有重力。,即两人同时到达顶点。,由角动量定理：,法二: ( 角动量守恒 ),1、若其中一个人不动，外力矩情况依然，内力矩对角动量 无贡献，因而角动量守恒。,即轻者先到达。,2、若m1m2，则,系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。,解 取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零。O点对细杆的作用力对点的力矩为零系统所受的合外力矩为零所以，系统的角动量守恒,解 取小球与地球为系统，机械能守恒。,由角动量守恒得,联立解得,例题4-13 质量为m的小球A,以速度v0沿质量为M半径为R的地球表面切向水平向右飞出，地轴OO与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球A在点C的速度与OO轴之间的夹角。,一、碰撞及其分类,3、碰撞分类弹性碰撞碰撞后形变消失，无机械能损失；非弹性碰撞碰撞后，形变不能恢复。部分机械能变成热能；完全非弹性碰撞碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速度运动，机械能损失最大。,二、正碰,1.碰撞定律两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。,牛顿认为碰撞后的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料决定，即,e 称为恢复系数,当e =0 时为完全非弹性碰撞,时 非弹性碰撞.,动量守恒,2. 一维正碰,和碰撞定律,联立解得,当e =0 时为完全非弹性碰撞,当e =1 时为弹性碰撞,正碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度。一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。,表示碰后两物体以同一速度运动，并不分开。,3.碰撞过程中动能的损失,三、斜碰（二维碰撞）,系统的动量守恒,y方向上有,x方向上（按正碰）有,与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。,例题4-15 质量分别为m和m的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，如图所示。将m拉至h高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。（1）碰撞是完全弹性的；（2）碰撞是完全非弹性的。,解 （1）碰撞前小球m的速度 ，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为v和v，则有,可解得,上升的高度分别为H和H,（2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量守恒定律可得,二球上升的高度为,例题4-16： 热中子被静止氦核散射。氦核M,热中子m,且M/m=4,散射为弹性碰撞。中子的散射角111，求中子在散射过程中损失了多少能量？,解：系统的动量守恒和机械能守恒,化简得,三式联立得,散射后与散射前中子动能之比为,所以动能损失了50%。,一、对称性与守恒定律：,1、对称性对某种几何形体施行某种操作，使它的形状和位置都不显现任何可觉察的变化。称这种形体具有几何对称性。雪花、昆虫、晶体。,举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转对称性,若球体上加记号“”，不再具有旋转对称性，称为“对称性破缺”。,2、物理学中的对称性:,系统从一个状态 另一个状态变换或操作。一个变换使系统从一个状态 另一个与之等价的状态，称该系统对这一变换(操作)是对称的。这个变换(操作)叫该系统的一个对称操作。,物理学中两类不同性质的对称性：,(1)系统或某具体事物的对称性(例如,两质点系统具有轴对称),(2)物理规律的对称性经一定的变换(操作),物理规律的 形式保持不变。例如:牛顿定律经伽利略变换具有形式不变性,称为具有对称性。,3、物理定律的对称性,研究物理定律在某种操作下的不变性。,1） 、物理定律时间平移不变性 物理定律对时间的均匀性。不改变实验条件的情况下，今天与明天应得到相同的结果。,2） 、物理定律空间平移不变性 空间具有对称性。不同地点做实验，应得到相同的结果。,4） 、物理定律镜像不变性空间左右对称。例如：镜像钟、镜像电动机，遵守相同的规律。,5） 、物理定律的惯性系变换不变性 惯性系之间是完全对称的。低速下，牛顿定律在 伽利略变换下具有形式不变性； 高速下，在洛 伦兹变化下，牛顿定律不具有形式不变性，故需 将它改造为相对论力学规律。,3） 、物理定律空间转动不变性,物理定律的对称性可用一种否定形式来叙述：,我们不可能通过物理实验来确定我们所处的时间的绝对值，空间的绝对位置，空间的绝对方向，空间绝对的左或绝对的右，所在参考系的绝对的速度。,物理定律的对称性反映时空特性。,守恒定律与物理规律在一定变换(操作)下的不变性密切相连。,诺特定理(1918)：如果物理规律在某一个不明显依赖时间的变换下具有不变性，必然有一个守恒定律存在。,诺特定理的意义：,二、时空对称性与三大守恒定律,它对某一个运动规律在某一个变化下的形式不变性与守恒定律的存在联系起来了。而且指出：若运动规律在某一个变换群中所有变换都具有不变性,则:守恒定律数=变换群中变换数。,1 、空间平移不变性与动量守恒,在这样的条件下，粒子1和粒子2所受到的力分别为：,两个粒子体系的总动量不随时间改变,2.空间的各向同性与角动量守恒定律,B粒子固定,A粒子沿B的圆弧运动,相对势能的改变为,而上述操作不改变相对势能,两粒子的相互作用力沿两者的连线，与角动量守恒是等价的。,时间的均匀性能量守恒定律,粒子之间的相互作用可用相互作用势能表示，时间的均匀性意味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而不应随时间的平移而改变。在这种情况下系统的能量总是守恒的,运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒；运动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒；运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒。,3. 时间均匀性与能量守恒,如果系统的力学性质与计算时间的起点无关，则称这个系统具有时间平移不变性或时间均匀性。从微观角度看，在所有的系统中，粒子与粒子之间的相互作用可用相互作用势能来表示，时间均匀性意味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而不应随时间的平移而改变，在这种情况下，系统的总能量是守恒的。,