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,定积分,第一节 定积分的概念与性质,a,b,x,y,o,A ?,曲边梯形由连续曲线 y f ( x)( f ( x) 0)、 x轴与两条直线x a 、 x b所围成.,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,y f ( x),a,b,x,y,xo,a,b,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，在区间a,b内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,oa,xi 1i xixn1 b,x,y,x1,把区间a,b 分成 n 个小区间 xi 1 , xi ， 长度为 xi xi xi 1;在每个小区间 xi 1 , xi ,上任取一点 ，,i,以 xi1 , xi 为底，f (i ) 为高的小矩形面积为Aif (i )xi,nA f (i )xii1当分割无限加细, 记小区间的最大长度 或者( x )x maxx1 , x2 ,xn 趋近于零 ( x 0或者 0) 时，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为 A lim f (i )xi,n, 0 i 1,实例2 （求变速直线运动的路程）,设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时间间隔 T1 ,T2 上 t 的一个连续函数，且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值,（1）分割,T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2,ti ti ti1,si v( i )ti,部分路程值,某时刻的速度,（2）求和,ns v( i )tii 1 maxt1 , t2 , tn ,（3）取极限,s limv( i )ti,n, 0 i 1,路程的精确值,定义 设函数 f ( x) 在a, b上有界，在a, b中任意插入,记 x maxx1, x2 , xn，,如果不论对a, b,若干个分点,a x x x x x b012n1n,把区间a, b分成n个小区间，各小区间的长度依次为xi xi xi 1 ，(i 1,2,)，在各小区间上任取,一点i （i xi ），作乘积 f (i )xin并作和S f (i )xi ，i 1,(i 1,2,),二、定积分的定义,怎样的分法， 也不论在小区间 xi1 , xi 上,a积分下限,f ( x)dx I lim f (i )xi,b,n, 0 i1,被 积 函 数,被 积 表 达 式,积 分 变 量,a,b 积分区间,点i 怎样的取法，只要当 x 0 时，和S 总趋于,确定的极限I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x),在区间a, b上的定积分， 记为,积分上限,积分和,注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.,a,bb,f ( x)dx af (t )dt af (u)du,b,（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.（3）当函数 f ( x) 在区间a, b上的定积分存在时，称 f ( x)在区间a, b上可积.,当函数 f ( x) 在区间a, b上连续时，称 f ( x)在区间a, b上可积.,定理1,定理2,设函数 f ( x) 在区间a, b 上有界，,且只有有限个第一类的 间断点，则 f ( x)在区间a, b上可积.,三、存在定理,f ( x) 0,a,f ( x)dx A,b,曲边梯形的面积,f ( x) 0,a,f ( x)dx A曲边梯形的面积的负值,b,A1,A2,A3,A4,A4,A2 A3,f ( x)dx A1,b,a,四、定积分的几何意义,几何意义：,它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号,例1 利用定义计算定积分,xdx.,1,0,2,解 将0,1n等分，分点为x i ，(i 1,2, n),n,i,小区间 xi1 , xi 的长度xi取i xi ，(i 1,2, n),，(i 1,2, n)n,1,n f (i )xii 1, ixii 1,n,2,xx ,i 1,2,i i,n,n,i 1 n ,2 i 1,n, , i 2 ,n3 i 1,n,1,6,1n(n 1)(2n 1),n3, 1 ,1 2, 1 1,6 n ,n ,x 0 n ,xdx,10,2,xi,i,n, 0 i1, lim,2,n , lim 1 1 1 2 1 1 .,n ,n 6 ,3,五、定积分 的性质,证,a f ( x) g( x)dxn,b, lim f (i ) g(i )xi, 0 i1, lim f (i )xi lim g(i )xi,nn, 0 i1 0 i 1, af ( x)dx a g( x)dx.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,b,b,bbb性质1 a f ( x) g( x)dx af ( x)dx a g( x)dx.,a kf ( x)dx k af ( x)dxk(,bb,为常数).,证,a kf ( x)dx lim kf (i )xi,b,n, 0 i 1, lim k f (i )xi,nn,i1, 0, k lim f (i )xi, 0 i 1, k af ( x)dx.,b,性质2,a,b,cbf ( x)dx af ( x)dx c,f ( x)dx .,补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.,例 若a则,a b c,c,f ( x)dx a,f ( x)dx b f ( x)dx,c,b,a,b,f ( x)dx a,f ( x)dx b f ( x)dx,cc,cb af ( x)dx cf ( x)dx.（定积分对于积分区间具有可加性）,性质3假设a c b,性质4 1 dx ,b,a,dx b a .,b,a,则af ( x)dx 0.,b,(a b),证,f ( x) 0,f (i ) 0,(i 1,2, n), xi 0,n f (i )xi 0,i 1 maxx1 , x2 , xn ,i i,n, 0 i1,f ( )x, lim,f ( x)dx 0.,b,a,性质5,如果在区间a, b上 f ( x) 0，,例 1比较积分值,edx 和,x,2,0,xdx 的大小.,2,0,解,令 f ( x) ex x,x 2, 0,f ( x) 0,(ex x)dx 0,0,2,edx,x,2,0,xdx,0,2,于是 edx,x,2,0,xdx.,2,0,可以直接作出答案,性质5的推论：（1）如果在区间a, b上 f ( x) g( x)，,证f ( x) g( x),g( x) f ( x) 0,a g( x) f ( x)dx 0,a g( x)dx af ( x)dx 0,b,bb,于是,f ( x)dx ,bb,a,g( x)dx .,a,则,f ( x)dxg( x)dx .(a b),bb,aa,f ( x)dx f ( x)dx.(a b),b,aa,b,证, f ( x) f ( x) f ( x),f ( x)dx,f ( x)dx f ( x)dx ,b,a,bb,aa, ,即,f ( x)dx f ( x)dx.,b,aa,b,说明： | f ( x)|在区间a, b上的可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,设M 及m分别是函数,证,a m f ( x) M ,a mdx af ( x)dx a Mdx,bbb,m(b a) f ( x)dx M (b a).,b,a（此性质可用于估计积分值的大致范围）曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间,则m(b a) f ( x)dx M (b a).,b,f ( x)在区间a, b上的最大值及最小值，,性质6,解,f ( x) ,sin x,x,x2x2,f (x) x cos x sin x cos x( x tan x) 0,x , 42,f ( x)在,上单调下降,42,故 x 为极大点， x 为极小点,42,例2不计算定积分 估计 ,的大小,dx,x, sin x,2,4,24,24,Mf ( ) 2 2 ,m f () 2 ,42,b a ,244, 2 ,sin xdx 2 2 ,4,4,1 2,sin xdx 2 .x 2,x,证,性质7（Th5.1 定积分第一中值定理）如果函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，则在积分区间a, b上至少存在一个点 ，,f ( x)dx M,b a,m ,b,a,1, m(b a) f ( x)dx M (b a),b,a,由闭区间上连续函数的介值定理知,使,a,f ( x)dx f ( )(b a).(a b)积分中值公式,b,在区间a, b上至少存在一个点 ，,使,f ( x)dx,1,f () ,b a,b,a,f ( x)dx f ( )(b a).,b,a,(a b),积分中值公式的几何解释：在区间a, b上至少存在一,x,o,a,b,个点 ，使得以区间a, b为,即,yf ( ),以曲线 y f ( x),底边，,为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形的面积。,Th5.2(推广的积分第一中值定理）如果函数 f ( x),g(x)在闭区间a, b上连续，且 g(x)在闭区间a,b上可积且不变号,则在积分区间a, b上至少存在一个点 ，使,f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx,当g(x) 1时,即为Th5.1,bb,aa,六、积分上限函数及其导数设函数 f ( x) 在区间a, b上连续，并且设x 为a, b上的一点， 考察定积分,a,x x,f ( x)dx af (t )dt,记 ( x) a,f (t )dt.,x,积分上限函数,如果上限x 在区间a, b上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在a, b上定义了一个函数，,a,x xb,x,yf (t )dt,o,定理 如果 f ( x) 在a, b上连续，则积分上限的函,数( x) ,f (t )dt 在a, b上具有导数，且它的导,x,a,数是,f (t )dt f ( x)(a x b), ( x) ,dx,d,x,a,证 ( x x) ,xx,a, ( x x) ( x), af (t )dt af (t )dt,xx x,( x),x,( x) af (t )dt.,x,x x xb,f (t )dt,f (t )dt ,f (t )dt ,x,a,xx,x,x,a, xf (t )dt,xx,由积分中值定理得, f ( )x,x 0, x, f ( ),x,lim limf ( ),x0,x0 x,( x) f ( x).,o x, x x,a,x,y,( x),计算下列导数,t 2et,t,t,cosx,x,x,dt,dx,dx d,edt,dx d,edt,d,1,1,1,2,2,2,(3),(2),(1),补充如果 f (t ) 连续，a( x) 、b( x) 可导，,则F ( x) ,f (t )dt 的导数F ( x) 为,b( x ),a ( x ),证,F ( x) ,f (t )dt,a( x ),b( x ),0,0,f (t )dt 0,b( x ), 0,f (t )dt,a ( x ),F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x),f (t )dtf b( x)b( x) f a( x)a( x),F ( x) dx,b( x ),a( x ),d,例1,求 limx0,.,2,1,cos x,2,x,edt,t,解,et,d 1,cos x,2,dt ,dx,dt,cos xt 2,1,e,dx,d,(cos x),cos2 x, e, sin x e,cos2 x,x2,1,cos x,limx0,2,dt,et,2x,2sin x ecosx, limx0,.,1 2e,0,0,分析：这是,型不定式，应用洛必达法则.,定理2（原函数存在定理）,如果 f ( x) 在a, b上连续，则积分上限的函,数( x) 原函数.,f (t )dt 就是 f ( x) 在a, b上的一个,x,a,定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,如果F ( x)是连续函数 f ( x) 在区间a, b上b,的一个原函数，则f ( x)dx F (b) F (a).,a,又( x) ,f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,x,a,已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，, F ( x) ( x) C,x a,b,证,七 牛顿莱布尼茨公式,令,x a,F (a) (a) C , (a) af (t )dt 0,a,F (a) C ,f (t )dt F ( x) F (a),x,a, F ( x) f (t )dt C ,x,a,令 x bf ( x)dx F (b) F (a).,b,a,牛顿莱布尼茨公式,f ( x)dx F (b) F (a) F ( x),b,a,微积分基本公式表明：一个连续函数在区间a, b上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间a, b上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.,b a,注意,当a b时，f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.,b,a,例4求,2 (2cos x sin x 1)dx.,0,原式,2,0,2sin x cos x x, 3 .,2f ( x)dx.,例5设 f ( x) , 求 ,2 x0 x 151 x 2,2,0,解,解,12f ( x)dx 0f ( x)dx 1f ( x)dx,0,2,在1,2上规定当 x 1时， f ( x) 5 ,原式 0 2 xdx 15,12,dx 6.,x,y,o,1,2,例6求,maxx, x2 dx.,2,2,解,由图形可知f ( x) maxx, x2 , x2 2 x 0 x0 x 1,1 x 2,2,x,dx 0 xdx 1x dx,原式 ,0x22,12,2,.2, 11,2x,y,o,y x2,y x,1, 2,设 f (x) Ca,b, 且 F(x) f (x),则有,1. 微积分基本公式,a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F (b) F (a),b,积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式,定理假设（1） f ( x) 在a, b上连续；（2）函数 x (t )在 , 上是单值的且有连续 导数；（3）当t 在区间 , 上变化时， x (t ) 的值 在a, b上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，,则 有,f (t ) (t )dt .,f ( x)dx ,b,a,八、换元公式,证设F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，,f ( x)dx F (b) F (a),b,a(t ) F(t ),(t ) dF dxf ( x)(t )f (t )(t ),dxdt(t )是 f (t ) (t )的一个原函数.,f (t )(t )dt () (), ( ) a、 ( ) b ,( ) ( ) F ( ) F ( ) F (b) F (a),f ( x)dx F (b) F (a) ( ) ( ),b,a, f (t ) (t )dt.注意当 时，换元公式仍成立.,应用换元公式时应注意:,（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也 相应的改变.（2）求出 f (t ) (t )的一个原函数(t )后，不 必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.,2,cos5 x sin xdx.,0,例1计算,.,xln x,e 4,3,e,dx,例2计算,例1计算,cos5 x sin xdx.,2,0,2,2,2,5,cos5 xd (cos x),0,0,cos6 x,0,cosx sin xdx , (0 1) 1 .66,6, ,解,凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。,3 1 )42, 2(, 2ln x,ln x,d ln x,xln x,e 4,e 4,e,e,dx,例2 计算 ,解原式,3e 4e,3,3,.,xln x,e 4,3,e,dx,例3 计算 3,解,2,x,dx,三角代换和根式代换,例4计算,解,1,2x1 x,1,2,2,dx.,1,令 x sin t,x 1, t ,2,x 12, t 6,dx cos tdt,原式,2,2,26,sin2 t cos t,sin2 t,66,cos t dt ,dt cot t, (cot cot ) (0 3) 3 2 6,明显换元,例 5 当 f ( x)在a, a上连续，且有 f ( x)为偶函数，则,a,f ( x)dx 20f ( x)dx；,aa, f ( x)为奇函数，则af ( x)dx 0.,a,证,f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,0,a0a,a,a,在a,0,f ( x)dx 中令x t ,a,f ( x)dx af (t )dt 0f (t )dt,0,0,a, f ( x)为偶函数，则,f (t ) f (t ),a,f ( x)dx 0f ( x)dxf (t )dt;,f ( x)dx a,a 0,a, 2,0,a, f ( x)为奇函数，则 f (t ) f (t ),a,f ( x)dx af ( x)dx 0f ( x)dx 0.,a 0,a,在a,0,f ( x)dx 中令x t ,奇函数,例6计算,解,2 x x cos x dx.,1 1 x2,1,1,2,原式 1,1 1 x2,1,2,2 x,dx, 1,1 1 x2,1,x cos x dx,偶函数, 40,dx1 1 x2 40(1 ,1,2,x,0,1 (1 x2 ), 4,1,x (1 1 x ) dx,22,1 x)dx 4 4,1,2,1 xdx,10,2, 4 .,单位圆的面积,总结：1、定积分公式2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换 元要换上下限4、 介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数,例 7若 f ( x) 在0,1上连续，证明,（1）,f (sin x)dx f (cos x)dx;,22,0,0,（2） 0,xf (sin x)dx f (sin x)dx .20,由此计算0 1 cos2 x, x sin x dx .,证（1）设 x t2, dx dt,x 0 t ,2,x t 0,2,2,0,f (sin x)dx,fsin t dt, ,0,2,2,2,0,f (cos t )dt,f (cos x)dx;,2,0,x t,2,（2）,x t, dx dt,x 0, t ,x , t 0,0,xf (sin x)dx, ( t) f sin( t)dt,0,( t) f (sin t)dt,0,由此计算 0 1 cos2 x,2 0,0,xf (sin x)dx f (sin x)dx, x sin x dx,设,xf (sin x)dx 0,f (sin t)dt,0 tf (sin t)dt, 0f (sin x)dx 0,xf (sin x)dx,f (sin x)dx.,2 0,xf (sin x)dx ,0,0 1 cos2 x, x sin x dx sin x,2 0 1 cos2 x dx,2 0 1 cos2 x, 1 d(cos x), arctan(cos x),0,2,.,4,2,), ( 244,0,a,vdu.,定积分的分部积分公式,九、分部积分公式设函数u( x) 、v( x) 在区间a, b上具有连续,导数，则有,udv uv,b a,b,b a,推导,uv uv uv, (uv)dx uv ,b,a,b,a, uvdx uvdx,b,aa,b,b a,uv, udv uv vdu.,b,a,b,a,b,a,例计算,解,ln xdx.,1,e,例2计算,arcsin xdx.,12,0,解,令,u arcsin x,dv dx,du dx ,1 x2,v x,12,0,arcsin xdx, x arcsin x,120,xdx 1 x2,120,26,1,1 d (1 x2 ),1 x,12,0,2,12, 1 x12,12,0,2, 1.122, 3,则,例3计算,解,xe dx,x,1,0,例4 计算, x cos xdx,1,0,例5计算,解,1,e,dx,x2,ln x,一、无穷限的广义积分定义 1设函数 f ( x) 在区间a,) 上连续，取,b a,，如果极限 lim,b,b a,f ( x)dx 存在，则称此极,限为函数 f ( x) 在无穷区间a,) 上的广义积,分，记作a,f ( x)dx .,a,f ( x)dx lim,b,b a,f ( x)dx,当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.,第四节 广义积分,类似地，设函数 f ( x) 在区间(, b 上连续，取,a b,，如果极限 lim,a,b,a,f ( x)dx 存在，则称此极,限为函数 f ( x) 在无穷区间(, b 上的广义积 分，记作f ( x)dx .,b,b,f ( x)dx,lima,b a,f ( x)dx,当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.,设函数 f ( x) 在区间(,) 上连续,如果,0广义积分 f ( x)dx 和 0,f ( x)dx 都收敛，则,称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间,(,)上的广义积分，记作,f ( x)dx .,0,f ( x)dx f ( x)dx 0,f ( x)dx,ab,lim,0a,f ( x)dx lim,b0,f ( x)dx,极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.,例1 计算广义积分,解, 1 sin 1 dx.,2,2,x x,2, 1 sin 1 dx,x x,2, 2sind, x , 1 ,1,x, ,x 2, cos 1 , cos 0 0 1,2 ,limcos 1 cos,x,x,limF (x) F (a)x, F () F (a),f (x)dx F (x),a,a,简记为,例1 计算广义积分,.1 x2,dx,解, 1 x2,dx, 1 x2,0,dx, 0,1 x2,dx,1 x,0 1 limdx lim,a,2,a,0 1 x2b,b 1 dx,arctan x,0,lim,a,ab,arctan x,b0,lim, lim arctana lim arctanb ,ab, .,2 2, ,例 3 证明广义积分1,1,dx 当 p 1时收敛，x p,当 p 1时发散.,证,(1)p 1,1, 1,dx x p1, 1,dx ln x,x,1, , ,p 1,(2)p 1,1, 1,dx ,x,p,1 p,1, x , 1 1 p, p 1, p 1,因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ；p 1当 p 1时广义积分发散., o, iiJy$y()d,b,bo+c,b,/(z)dz,y( d ,.:i a.a,J(z) dz-J-,J(z) dz,Acr BU,X if. 4STJ1. i*J1 I,;-,;y,pJb/(,)dp,2 z 4z ,1,11,2,1,1,f= o i l y r-s jk.,r y,G& G,T *,fJ 5.7,pa l e*dx( o0),ti5.8,e 2z,1,回顾曲边梯形求面积的问题,A af ( x)dx,b,第五节、定积分应用,曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y f ( x)( f ( x) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、 x b所围成。,a,bx,y,o,y f ( x),1、几何上的应用,面积,a,x x dxbx,y,o,y f ( x),A lim f (i )xi ,n, 0 i 1,a,b,f ( x)dx, a f ( x)dx.,b,dA,面,积,元 素,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,边梯形面积为 A ,则,dA f (x) dx,A f (x) dx,b,a,Oax,bx,y,y f (x),x dx,y,b,y f2 (x)x,a,y f1(x),O,x,x d x, f (x) f(x) dx,A ,右图所示图形，面积元素为dA f1(x) f2 (x)dxb,a,12,x,y,o,y f ( x),axx xb,x,y,o,y f1 ( x),y f( x),2,a,b,曲边梯形的面积,A a,b,f ( x)dx,曲边梯形的面积,A a f2 ( x) f1 ( x)dx,b,xx,f1 (x) f2 (x) dx,A ,b,a,y,bx,a x x d x,y f2 (x),y f1(x),O,c, f (x) f(x)dx,c,a,12, f(x) f (x)dx,b,c,21,A ( y) ( y) dy,d,c,y d yyO,x ( y)x,y d,x ( y),c,dA | f1(x) f2 (x) | dx,有时也会选 y 为积分变量dA | ( y) ( y) | dy,例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和y x2 所围成的 图形的面积.,解,（1）作图,（2）求出两曲线的交点(0,0)(1,1)（3） 选 x 为积分变量,x 0,1,A (x x2 )dx ,1,0,1x3 ,3 0,3,2,2,3,x,.,13,y x2,x y2,（4）代公式 A a f2 ( x) f1 ( x)dx,b,例 2,计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围,成的图形的面积.,解两曲线的交点 y2 2 x y x 4 (2,2), (8,4).选 y 为积分变量,y 2, 4,dA y 4 y dy,2,2 ,A dA 18.,4,2,y2 2x,y x 4,解题步骤：,(1)画出草图；(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。,Ox x d x a,yb,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,有 d A y dx,所围图形的面积 .,A 40y d x 4b0,a,利用椭圆的参数方程x a cos t,(0 t 2 ),y b sin t,应用定积分换元法得, 4ab, 2,0,2,sint dt, 4ab 2 2 ab,1 ,当 a = b 时得圆面积公式,x,1 ,a,a,x,d x,2,二、立体体积,V A(x) d x,b,a,bx,a,x,1. 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),上连续, 则对应于小区间dV A(x) d x因此所求立体体积为,的体积元素为,A(x),(R x R),V 202 (R x) tan d x,R 1,22, 2 tan R2 x 1 x3 R,3,0,例1. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,x2 y2 R2垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为,解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为,A(x) 1 (R2 x2 ) tan2利用对称性,O x R(R2 x2 ),x,y,(R2 x2 tan ),O,R,x(x R2 y2 ),(x, y),y,R,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,A( y) 2x y tan 2 tan yV 2 tan 0 y,提示:,R2 y2,R,R2 y2 dy,( y tan ),旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,旋转体的体积,O,x,yd,x ( y),2, f (x)dx,V,b,a,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,2,( y),dy,V,d c,y,c,yabx,x,y,a,b,O,y f (x),2. 旋转体的体积当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时, 有,x,一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、 直线 x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？,取积分变量为x ，x a,b,x,x dx,x,y,o,旋转体的体积为, f ( x)dx,V,b,a,2,y f ( x),类似 地， 如果 旋 转体 是由 连 续曲 线,x ( y)、直线 y c 、 y d 及y 轴所围,成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，,体积为,x,o,yd,x ( y),c, ( y)dy,2,V ,d,c,Y 轴,X 轴,c,a x,b,y f (x),y g(x),V a f(x) g(x) dx,22,b,f (x) g(x) 0,( y) ( y),22,dy,V ,d,( y) (x) 0,X 轴,Y 轴,x ( y),x ( y),c,d,xa x,y,b,例1. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 利用直角坐标方程,则, 2 b a (a2 x2 ) dx,a2 0,V 20 ydx2,(利用对称性), 0, 2 b a2 x 1 x3 ,a2 ,2,3,a, 4 ab23,O,a,2,例 计算由两条抛物线 y2 x和 y x 2所围成的 图形的围绕轴的旋转体的体积.,解,x y2y x2,1,(x)2 (x2 )2 )dx,0,x,V ,
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