2018-2019学年九年级数学下册 第二十七章 相似测试 （新版）新人教版.doc

第二十七章相似271图形的相似01基础题知识点1相似图形1下列各组图形相似的是(B)2下列各项中不是相似图形的是(C)A放大镜里看到的三角板与原来的三角板B同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片C哈哈镜里看到的人像与真人像D课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图知识点2成比例线段3下列各组线段成比例的是(D)A2 cm，5 cm，6 cm，8 cmB1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC3 cm，6 cm，7 cm，9 cmD3 cm，6 cm，9 cm，18 cm4已知线段a，b，c，d成比例，且，其中a8 cm，b4 cm，c12 cm，则d6cm.5在比例尺为1200 000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为9_000m.知识点3相似多边形6两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)A. B. C. D.7(xx重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm8下列四组图形中，一定相似的是(D)A正方形与矩形B正方形与菱形C菱形与菱形D正五边形与正五边形9如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x，8010如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A，B，C，D分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形ABCD是否相似，并说明理由解：四边形ABCD与四边形ABCD相似理由：A，B分别是OA，OB的中点，ABAB，ABAB.OABOAB，.同理，OADOAD，.BADBAD，.同理，ADCADC，DCBDCB，CBACBA，四边形ABCD与四边形ABCD相似易错点没有分情况讨论导致漏解11已知三条线段的长分别为1 cm、2 cm、 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为_cm，2_cm或_cm.02中档题12用一个10倍的放大镜看一个15的角，看到的角的度数为(C)A150 B105 C15 D无法确定大小13已知四条线段的长度分别为2，x1，x1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B)A2 B3 C3 D3或314如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若ABFG23，则下列结论正确的是(B)A2DE3MN B3DE2MNC3A2F D2A3F15(教材P28习题T5变式)如图，DEBC，DE3，BC9，AD1.5，AB4.5，AE1.8，AC5.4.(1)求，的值；(2)求证：ADE与ABC相似. 解：(1)，. (2)证明：DEBC, DB，EC.又DAEBAC，ADE与ABC相似16如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GEAD，GFAB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似证明：四边形ABCD是正方形，AC是对角线，DACBAC45.又GEAD，GFAB，EGFG，且AEEG，AFFG.AEEGFGAF.又EAF90，四边形AFGE为正方形，且EAFDAB，AFGABC，FGEBCD，AEGADC.四边形AFGE与四边形ABCD相似03综合题17(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比解：(1)若设ADx(x0)，则DM.矩形DMNC与矩形ABCD相似，即.解得x4(舍负)AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为.272相似三角形272.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例01基础题知识点1相似三角形的有关概念1如图所示，ADEACB，AEDB，那么下列比例式成立的是(A)A. B.C. D.2已知ABC和ABC相似，且ABC与ABC的相似比为R1，ABC与ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D)AR1R2 BR1R21CR1R20 DR1R21知识点2平行线分线段成比例定理及推论3如图，ABCDEF，则下列结论不正确的是(C)A. B.C. D.4(教材P31练习T2变式)如图，在ABC中，DEBC.若，则(C)A. B. C. D.5(xx临沂)如图，已知ABCD，AD与BC相交于点O.若，AD10，则AO46(xx嘉兴)如图，直线l1l2l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知，则27如图，EGBC，GFCD，AE3，EB2，AF6，求AD的值解：EGBC，.GFCD，.，即.FD4.ADAFFD10.知识点3相似三角形判定的预备定理8如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC.若BD2AD，则(B)A. B. C. D.9(xx自贡)如图，在ABC中，MNBC 分别交AB，AC于点M，N.若AM1，MB2，BC3，则MN的长为1. 10如图，在ABC中，点D在BC上，EFBC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：AEGABD，AGFADC，AEFABC.易错点图形的不唯一导致漏解11在ABC中，AB6，AC9，点P是直线AB上一点，且AP2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6或1202中档题12如图，在ABC中，ABAC12，ADBC于点D，点E在AD上，且DE2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C)A4 B3 C2.4 D213如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上若线段AB4 cm，则线段BC12cm.14小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE10米，BC18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?解：DEBC，ABCADE.，即.AD10.答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.15如图，已知：ABAD，ACAE，FGDE.求证：ABCAFG.证明：ABAD，ACAE，BACDAE，ABCADE.BCDE，BADE，CAED.FGDE，AFGADE.又CAEDG，BADEF，BACFAG，ABCAFG.03综合题16如图，ADEGBC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD6，BC10，AE3，AB5，求EG，FG的长解：在ABC中，EGBC，AEGABC.，即.EG6.在BAD中，EFAD，BEFBAD.，即.EF.FGEGEF.第2课时相似三角形的判定定理1，201基础题知识点1三边成比例的两个三角形相似1有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，乙三角形木框的三边长分别为5，则甲、乙两个三角形(A)A一定相似 B一定不相似C不一定相似 D无法判断2(教材P34练习T3变式)已知ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，DEF的一边长为4 cm，当DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C)A2 cm，3 cm B4 cm，5 cmC5 cm，6 cm D6 cm，7 cm3下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)4如图，在ABC中，AB25，BC40，AC20.在ADE中，AE12，AD15，DE24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由解：相似理由：，.ABCADE.知识点2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5如图，已知ABC，则下列4个三角形中，与ABC相似的是(C)6如图，在ABC与ADE中，BACD，要使ABC与ADE相似，还需满足下列条件中的(C)A. B. C. D.7在ABC和ABC中，若BB，AB6，BC8，BC4，则当AB3时，ABCABC.8如图，已知ABADACAE，B30，则E309如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP.证明：设正方形的边长为4a，则ADCDBC4a.Q是CD的中点，BP3PC，DQCQ2a，PCa.又DC90，ADQQCP.易错点对应边没有确定时容易漏解10. (xx随州)在ABC中，AB6，AC5，点D在边AB上，且AD2，点E在边AC上，当AE或时，以A，D，E为顶点的三角形与ABC相似02中档题11如图，在正方形网格上，若使ABCPBD，则点P应在_处(C)AP1 BP2 CP3 DP412如图，在等边ABC中，D，E分别在AC，AB上，且ADAC13，AEBE，则有(B)AAEDBED BAEDCBDCAEDABD DBADBCD13如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AEDB，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且.(1)求证：ADFACG；(2)若，求的值解：(1)证明：AEDB，DAEBAC，ADFC.又，ADFACG.(2)ADFACG.1.14如图，在RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0t2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，求t的值解：由题意，得BP5t，QC4t，AB10 cm，BC8 cm.PBQABC，若BPQBAC，则还需，即.解得t1.PBQCBA，若BPQBCA，则还需，即.解得t.综上所述，当t1或时，以B，P，Q为顶点的三角形与ABC相似03综合题15如图，在ABC中，ABAC1，BC，在AC边上截取ADBC，连接BD.(1)通过计算，判断AD2与ACCD 的大小关系；(2)求ABD 的度数解：(1)ADBC，AD2()2.AC1，CD1.AD2ACCD.(2)AD2ACCD，BC2ACCD，即.又CC，ABCBDC.又ABAC，BDBCAD.AABD，ABCCBDC.设AABDx，则BDCAABD2x.ABCCBDC2x.AABCCx2x2x180.解得x36.ABD36.第3课时相似三角形的判定定理301基础题知识点1两角分别相等的两个三角形相似1有一个角为30的两个直角三角形一定(B)A全等 B相似 C既全等又相似 D无法确定2(教材P36练习T2变式)如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，则下列说法中错误的是(C)AACDCBD BACDABCCBCDABC DBCDBAC3(xx永州)如图，在ABC中，点D是边AB上的一点，ADCACB，AD2，BD6，则边AC的长为(B)A2 B4 C6 D84(xx邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一如：EFCAFD，EABAFD，EFCEAB5已知在ABC中，A40，B75，下图各三角形中与ABC相似的是EFD，HGK.6如图，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC.求证：ABCFDE.证明：FDAB，FEAC，BFDE，CFED.ABCFDE.7甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F，G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DFCB，EC，请写出与ABC相似的三角形，并加以证明”甲同学的解答得到了老师的好评乙同学的解答是这样的：“与ABC相似的三角形只有AFD，证明如下：DFCB，AFDABC.”乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正解：乙同学的解答不正确与ABC相似的三角形还有GFE，应该补上证明如下：DFBC，GFEABC.又EC，GFEABC.知识点2斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似8在ABC和A1B1C1中，AA190，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)ABB1 B.C. D.9一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm和 cm，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形10在ABC和ABC中，CC90，AC12，AB15，AC8，则当AB10时，ABCABC.易错点斜边和直角边比例不唯一导致漏解11如图，已知ACBABD90，AB，AC2，则AD的长为3或3时，图中两直角三角形相似02中档题12如图，点P在ABC的边AC上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是(D)AABPC BAPBABC C. D.13如图，在ABC中，AE交BC于点D，CE，ADDE35，AE8，BD4，则DC的长等于(A)A. B. C. D.14下列命题：所有的等腰三角形都相似；有一个角是50的两个等腰三角形相似；有一个角是60的两个等腰三角形相似；有一个角是110的两个等腰三角形相似；所有的等腰直角三角形都相似其中真命题是(填序号)15(xx齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A46，则ACB的度数为113或9216如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD3，ADE60，求AE的长解：ABC是边长为9的等边三角形，BC60，ABBCAC9.BADADB120.ADE60，CDEADB120.BADCDE.又BC，ABDDCE.，即.CE2.AE927.03综合题17如图，在矩形ABCD中，AB20，BC10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：APQCDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，DPAC?解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABCD.APQCDQ.又AQPCQD，APQCDQ.(2)当t5时，DPAC.理由：t5，AP5.又，.又PADADC90，PADADC.ADPDCA.ADPCDPADC90，DCACDP90.DQC90，即DPAC.小专题(四)相似三角形的基本模型模型1X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则ABODCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且OABOCD，则ABOCDO.1(xx恩施)如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG2，则线段AE的长度为(D)A6 B8 C10 D122将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是3如图，已知ADEACB，BD8，CE4，CF2，求DF的长解：ADEACB，180ADE180ACB，即BDFECF.又BFDEFC，BDFECF.，即.DF4.模型2A字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则ADEABC；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则ADEABC；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则ACDABC.常见的结论有：AC2ADAB.)4如图，在ABC中，AD是中线，BC8，BDAC，则线段AC的长为(B)A4 B4 C6 D45如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAFGAC.求证：ADEABC.证明：AFDE，AGBC，AFEAGC90，EAFGAC，AEFACG.又DAEBAC，ADEABC.6如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且ABEFCD，求证：.证明：ABEF，DEFDAB.又EFCD，BEFBCD.1.模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.常见的结论有：CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.7如图，在RtABC中，CDAB，D为垂足，且AD3，AC3，则斜边AB的长为(B)A3 B15 C9 D338如图，在ABC中，ACB90，CD是斜边AB上的高，AD9，BD4，那么CD6，AC3模型4一线三等角型(1)如图1，RtABD与RtBCE的斜边互相垂直，则有ABDCEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，BACDE，则ABCCED.特殊地，连接AD，当点C为BE的中点时，ABCCEDACD. 图1 图29(xx江西)如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且EFG90.求证：EBFFCG.证明：四边形ABCD为正方形，BC90.BEFBFE90.EFG90，BFECFG90.BEFCFG.EBFFCG.10如图，在ABC中，ABAC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足DEFB，且点D，F分别在边AB，AC上(1)求证：BDECEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分DFC.证明：(1)ABAC，BC.BDE180BDEB，CEF180DEFDEB，且DEFB，BDECEF.BDECEF.(2)BDECEF，.点E是BC的中点，BECE.DEFBC，DEFECF.DFECFE，即FE平分DFC.11如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且BEF90.(1)求证：ABEDEF；(2)若AB4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长解：(1)证明：四边形ABCD为正方形，AD90.ABEAEB90.BEF90，AEBDEF90.ABEDEF.ABEDEF.(2)ABAD4，E为AD的中点，AEDE2.由(1)知，ABEDEF，即.DF1.CF3.EDCG，EDFGCF.，即.GC6.BGBCGC10.周测(27.127.2.1)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1如图，已知直线abc，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F.若，则(B)A. B. C. D12下列两个图形一定相似的是(D)A任意两个等腰三角形 B任意两个矩形C任意两个菱形 D任意两个等边三角形3如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DEBC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C) A. B. C. D.4如图，在ABCD中，EFAB，DEEA23，EF4，则AB的长为(C)A. B8 C10 D165在三角形纸片ABC中，AB8，BC4，AC6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与ABC相似的是(D)ABCD6如图，D是ABC的边AB上一点，下列条件：ACDB；AC2ADAB；AB边上与点C距离相等的点D有两个；BACB，其中一定使ABCACD的有(B)A1个 B2个 C3个 D4个7如图，在ABC中，AD平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连接MN分别交AB，AC于点E，F；第三步，连接DE，DF.若BD6，AF4，CD3，则BE的长是(D)A2 B4 C6 D88在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是(A) 图1图2A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对二、填空题(每小题4分，共24分)9在比例尺为110 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800_km.10如图，x211如图，已知AD，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是ABDE(答案不唯一)(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)12如图，点O是ABC中任意一点，且ADOD，BEBO，CFCO，则ABCDEF，其相似比为3213如图，在ABC中，AB6，点D是AB的中点，过点D作DEBC，交AC于点E，点M在DE上，且MEDM.则当AMBM时，BC的长为814如图，AB是半圆直径，半径OCAB于点O，AD平分CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：ACOD；CEOE；ODEADO；2CD2CEAB.其中正确结论的序号是三、解答题(共44分)15(10分)如图，在ABC中，已知DEBC，AD4，DB8，DE3.求：(1)的值；(2)BC的长解：(1)AD4，DB8，ABADDB4812.(2)DEBC，ADEABC.又DE3，.BC9.16(10分)如图，在ABC中，点D为AC边上一点，DBCA.(1)求证：BDCABC；(2)如果BC，AC3，求CD的长解：(1)证明：DBCA，CC，BDCABC.(2)BDCABC，即.CD2.17(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA12 cm，OB6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t(单位：s)表示移动的时间(0t6)，那么当t为何值时，POQ与AOB相似？解：POQBOA，若POQBOA，则，即.解得t2.POQAOB，若POQAOB，则，即.解得t4.综上所述，当t2或4 s时，POQ与AOB相似18(12分)如图，在RtACB中，ACB90，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.(1)求证：ADOACB；(2)若O的半径为1，求证：ACADBC.证明：(1)AB是O的切线，ODAB.ADO90.ACB90，ACBADO.又AA，ADOACB.(2)由(1)，知ADOACB，.ADBCACOD.又OD1，ACADBC.272.2相似三角形的性质01基础题知识点1相似三角形对应线段的比等于相似比1已知ABCDEF，ABC与DEF的相似比为41，则ABC与DEF对应边上的高之比为41 .2如图，ABCABC，相似比为34，AD，AD分别是边BC，BC上的中线，则ADAD343若两个三角形相似，相似比为89，则它们对应角平分线之比是89，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为_cm4已知ABCABC，CD是AB边上的中线，CD是AB边上的中线，CD4 cm，CD10 cm，AE是ABC的一条高，AE4.8 cm.求ABC中对应高线AE的长解：ABCABC，CD是AB边上的中线，CD是AB边上的中线，且AE，AE是对应的高线，即.AE12 cm.知识点2相似三角形周长的比等于相似比5如图，ABCD，则AOB的周长与DOC的周长的比是(D)A. B. C. D.6如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为25cm.7已知ABCDEF，ABC和DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC5 cm，DF4 cm，求EF和AC的长解：相似三角形周长的比等于相似比，.EFBC5(cm)同理，.ACDF4(cm)EF的长是 cm，AC的长是 cm.知识点3相似三角形面积的比等于相似比的平方8(xx内江)已知ABC与A1B1C1相似，且相似比为13，则ABC与A1B1C1的面积比为(D)A11 B13 C16 D199(xx自贡)如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点若ADE的面积为4，则ABC的面积为(D)A8 B12 C14 D1610(xx荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则SEFGSABG(C)A13 B31 C19 D9102中档题11如图，在ABC中，DEBC，则下列结论中正确的是(C)A. B.C. D.12(教材P43习题T12变式)(xx随州)如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分，则的值为(C)A1 B. C.1 D.113如图，直线l1，l2，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC2，则EF的长是514在ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则SMODSCOB或15如图，D是ABC的边BC上一点，AB4，AD2，DACB，如果ABD的面积为15，求ACD的面积解：DACB，CC，ACDBCA.()2()2.ABD的面积为15，SACD5.16两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm和14 cm，它们的周长相差60 cm，求这两个三角形的周长解：两个相似三角形的对应边的比是351452，周长的比等于相似比，可以设一个三角形的周长是5x，则另一个三角形的周长是2x.周长相差60 cm，5x2x60，解得x20.这两个三角形的周长分别为100 cm，40 cm.17如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DCAC，ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EFBC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积解：(1)证明：DCAC，CF平分ACB，AFDF.又点E是AB的中点，EF是ABD的中位线EFBD，即EFBC.(2)由(1)知，EFBD，AEFABD.()2.又点E是AB的中点，.SAEFSABD.SABD6SABD.SABD8.03综合题18(xx内江)如图，在四边形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分线，且CMAB，M为垂足，AMAB.若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是1小专题(五)三角形内接特殊四边形问题 教材P58T11的变式与应用教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC120 mm，高AD80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？【母题分析】(1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比(2)解决本题的关键点：由EFGH，得到AEFABC.(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系解：设正方形的边长为x mm，则EFx mm，ADBC，AD80 mm，AK(80x)mm.正方形EFHG内接于ABC，EFGH.AEFABC.，即.解得x48.这个正方形零件的边长是48 mm.解决本题的关键：(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和(2)方程思想：利用相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中1如图，矩形DEFG的边EF在ABC的边BC上，点D在边AB上，点G在边AC上，ADG的面积是40，ABC的面积是90，AMBC于点M，交DG于点N，则ANAM232(xx岳阳)九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步3如图，矩形EFGH内接于ABC，且边FG落在BC上，ADBC，BC3，AD2，EFEH，那么EH的长为4如图，已知锐角三角形ABC中，边BC长为12，高AD长为8.矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.(1)求的值；(2)设EHx，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值解：(1)EFBC，AEFABC.AK，AD分别是AEF，ABC的高，.(2)EHBC，ADBC，EHAD.BEHBAD.EFBC，AEFABC.，得1.EHx，AD8，BC12，EF12x.SEHEFx212x(x4)224.0x8，当x4时，S有最大值，最大值为24.小专题(六)相似三角形的性质与判定类型1利用相似三角形求线段长1(xx北京)如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F.若AB4，AD3，则CF的长为2如图，已知菱形BEDF内接于ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上若AB15 cm，BC12 cm，则菱形的边长为cm.3如图，在ABC中，ABAC，点D，E分别在边BC，AB上，且ADEB.如果DEAD25，BD3，那么AC.4(xx深圳)如图，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，在RtMPN中，MPN90，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE2PF时，AP3.5(xx江西)如图，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长解：BD为ABC的平分线，ABDDBC.又ABCD，DABD.DBCD.BCCD4.AEBCED，AEBCED.2.AE2EC，即ECAE.ACAEEC6，AEAE6，即AE4.类型2利用相似三角形求角度6如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则BAC的度数是135.7如图，在等腰ABC中，ABAC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2BDCE.若BAC40，则DAE110.类型3利用相似三角形求比值8如图，ABDC，AC与BD交于点E，EFDC交BC于点F，CE5，CF4，AEBC，则等于(B)A. B. C. D.9如图，D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，且DEAC，AE，CD相交于点O.若SDOESCOA125，则SBDE与SCDE的比是(B)A13 B14 C15 D12510(xx达州)如图，E，F是ABCD对角线AC上两点，AECFAC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为(C)A. B. C. D111(xx桂林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EACA交DB的延长线于点E.若AB3，BC4，则的值为.类型4利用相似三角形证明等积式与比例式12如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD2AD，CE2AE.求证：(1)ADEABC；(2)DFBFEFCF.证明：(1)BD2AD，CE2AE，AB3AD，AC3AE.AA，ADEABC.(2)，DEBC.DEFCBF.DFBFEFCF.13如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F.求证：.证明：ACB90，CDAB，AACDACDBCD，ACBBDC90.ABCD.ABCCBD.，即.又E为AC中点，AECEED.AEDA.EDABDF，FCDBDF.又F为公共角，FDBFCD.类型5利用相似求点的坐标14如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，2)，连接AB并延长到C，连接CO.若COBCAO，则点C的坐标为(B)A(1，) B(，)C(，2) D(，2)15如图，已知直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，则点C的坐标为(4，0)或(1，0)或(1，0)小专题(七)圆与相似1如图，O是ABC的外接圆，已知AD平分BAC交O于点D，交BC边于点E，AD5，BD2，则DE的长为(D)A. B. C. D.2如图，已知O是等腰RtABC的外接圆，D是上一点，BD交AC于点E.若BC4，AD，则AE的长是(C)A3 B2 C1 D1.23(xx巴中)如图所示，O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，得SACPSDBP169，则ACBD434如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ACB的平分线交O于点D，作PDAB，交CA的延长线于点P，连接AD，BD.求证：(1)PD是O的切线；(2)PADDBC.证明：(1)连接OD.DCADCB，.ODAB.ABPD，ODPD.点D在O上，OD为O的半径，PD是O的切线(2)PADCAD180，DBCCAD180，PADDBC.由(1)可得：PDABCD45，PADDBC.5如图，以ABC的边AC为直径的O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，BCPBAN.求证：(1)ABC为等腰三角形；(2)AMCPANCB.证明：(1)AC为O的直径，ANC90.PC是O的切线，BCPCAN.BCPBAN，BANCAN.又ANBC，ABAC.ABC为等腰三角形(2)连接MNABC为等腰三角形，ABAC，ABCACB.PBCABCAMNACN180，PBCAMN.由(1)知BCPBAN，BPCMNA.，即AMCPANCB.6(xx聊城)如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆(1)求证：AC是O的切线；(2)已知O的半径为2.5，BE4，求BC，AD的长解：(1)证明：连接OE，OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBEEBC.OEBEBC.OEBC.