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27.2.3 相似三角形的应用举例一、学习目标：1运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；2灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.二、学习重难点：重难点：运用三角形相似的知识解决实际问题.探究案三、教学过程课堂导入埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了金字塔的高度你知道他是怎样测量的吗？今天我们就利用这些知识测量一些不能直接测量的物体的高度吧.课堂探究知识点一：用相似三角形测量高度对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度结合右面的图形，大家思考如何求出高度.归纳总结例题解析例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m， 求金字塔的高度BO.归纳总结小试牛刀1.如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长2.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE20m.当她与镜子的距离CE2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角反射角)课堂探究问题 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2 m，又测得地面部分的影长2.7 m，他求得的树高是多少?归纳总结例题解析例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面1. 6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？归纳总结小试牛刀1.如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度2.星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由随堂检测1如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB12 m，则旗杆AB的高为_m.2在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一根旗杆的影长为25 m，那么这根旗杆的高度为_m.3已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外将木梯绕点E旋转90靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为_4如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角AMC30，在教室地面的影长MN2米若窗户的下檐到教室地面的距离BC1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为_米5 如图是小明设计用手电来测量都匀南沙洲古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB1.2米，BP1.8米，PD12米，那么该古城墙的高度是_米(平面镜的厚度忽略不计)6如图利用标杆BE测量建筑物的高度已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物CD的高是多少？课堂小结1利用相似三角形测量物体的高度；2利用相似三角形测量河的宽度；3设计方案测量物体高度我的收获_参考答案课堂探究利用阳光下的影子测高：(1)构造相似三角形，如图.(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE (旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)(3)计算理由：因为ACDB(平行光)，所以ACBDBE.因为ABCDEB90(直立即为垂直)，所以ABCDEB，有ABDE=BCBE，则DE=ABBEBC.例题解析例1解：太阳光是平行光线，因此BAO=EDF.又AOB=DFE=90， ABO DEF. BOEF=OAFD,BO=OAEFFD=20123=134(m).因此金字塔的高度为134 m.小试牛刀1.解析：先利用BDCFGE得到，可计算出BC6m，然后在RtABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长解：如图，CD3.6m，BDCFGE，即，BC6m.在RtABC中，A30，AB2BC12m，即树长AB是12m.方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解2.解析：根据物理知识得到BEADEC，所以可得BAEDCE，再根据相似三角形的性质解答解：如图，根据光的反射定律知BEADEC，BAEDCE90，BAEDCE，.CE2.5m，DC1.6m，AB12.8，大楼AB的高度为12.8m.课堂探究解：如图，过点C作CEAB于点E，因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，AE2.7=10.9,可得AE=3 m，所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).答：这棵树的高为4.2 m 例题解析例2解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.ABl，CD l，ABCD.AEH CEK. EHEK=AHCK,即EHEH+5=8-1.612-1.6=6.410.4.解得EH=8(m).由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.小试牛刀1.解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可解：如图，过点D作DEBC，交AB于E，DECB9.6m，BECD2m，在同一时刻物高与影长成正比例，EAED11.2，AE8m，ABAEEB8210m，学校旗杆的高度为10m.方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度2.解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高理由：测量出CD、DE、BE的长，因为CEDAEB，DB90，易得ABECDE.根据，即可算出AB的高方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解随堂检测192.153.7.5米4.35.86解：EBCD，ABEACD，ABAC=BECD，即A1.61.6+12.4=1.2CDCD=10.5（米）
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