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一元二次方程的解法,一元二次方程的一般形式,（a0）,3x-1=0,3x-8x+4=0,3,3,-8,-1,4,0,回顾,一元二次方程的一般形式,巩固提高：1、若是关于x的一元二次方程则m。2、已知关于x的方程，当m_时是一元二次方程，当m=时是一元一次方程，当m=时，x=0。,1,2,-1,（a0）,（a0）,1.关于y的一元二次方程2y(y-3)=-4的一般形式是_,它的二次项系数是_,一次项是_,常数项是_,2y2-6y+4=0,2,-6y,4,B,3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a=;,2,（）,做一做,C,4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）A、若x2=4，则x=2B、若3x2=6x，则x=2C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2,5x2-3x=03x2-2=0x2-4x=62x2+7x-7=0,引例：给下列方程选择较简便的方法,（运用因式分解法）,（运用开平方法）,（运用配方法）,（运用公式法）,（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）,（(mx+n)2=aa0）,(化方程为一般形式）,（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）,解一元二次方程的方法,配方法,公式法,开平方法,因式分解法,1、填空：x2-3x+1=03x2-1=0-3t2+t=0x2-4x=2x2+9=6x5(m+2)2=83y2-y-1=02x2+4x-1=0适合运用开平方法适合运用因式分解法适合运用公式法适合运用配方法,3x2-1=0,5(m+2)2=8,-3t2+t=0,x2+9=6x,x2-3x+1=0,3y2-y-1=0,2x2+4x-1=0,x2-4x=2,规律：一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。,巩固练习：,公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）,一般规律,先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法.,2、选择适当的方法解下列方程：,3、用适当方法解下列方程-5x2-7x+6=0x2+2x-9999=04(t+2)2=3,例2.解方程(x+1)(x-1)=2x(2m+3)2=2(4m+7)2(x-2)2+5(x-2)-3=0,总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,（1）变方程为：,思考：（能不能用整体思想？）,2(x-2)2+5(x-2)=3或2(2-x)2-5(2-x)-3=0,3t(t+2)=2(t+2),(y+)(y-)=2(2y-3),巩固练习：,(x+101)2-10(x+101)+9=0,3t(t+2)=2(t+2),(3-t)2+t2=9,请用四种方法解下列方程:4(x1)2=(x5)2,比一比,结论,先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法;,ax2+c=0=,ax2+bx=0=,ax2+bx+c=0=,因式分解法,公式法（配方法）,2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）,3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,1、,开平方法,因式分解法,谈谈这节课的收获,1、用配方法证明：关于x的方程（m-12m+37）x+3mx+1=0，无论m取何值，此方程都是一元二次方程,拓展训练,2、说明：不论x取任何实数，二次三项式,3、若关于一元二次方程有实数根，则a的取值范围是什么？,的值恒小于0。,拓展训练,4、解关于x的方程：,下课了,小结：,ax2+c=0=,ax2+bx=0=,ax2+bx+c=0=,因式分解法,公式法（配方法）,2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）,3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,1、,直接开平方法,因式分解法,（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）,（(mx+n)2=aa0）,(化方程为一般形式）,（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）,解一元二次方程的方法,配方法,公式法,开平方法,因式分解法,1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;,因式分解法,2.理论依据是:如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零.,因式分解法解一元二次方程的一般步骤:,一移-方程的右边=0;,二分-方程的左边因式分解;,三化-方程化为两个一元一次方程;,四解-写出方程两个解;,方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a0),开平方法,1.化1:把二次项系数化为1;,2.移项:把常数项移到方程的右边;,3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;,4.变形:化成,5.开平方，求解,“配方法”解方程的基本步骤：,一除、二移、三配、四化、五解.,用公式法解一元二次方程的前提是:,公式法,1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0).,2.b2-4ac0.,填空：x2-3x+1=03x2-1=0-3t2+t=0x2-4x=22x2x=05(m+2)2=83y2-y-1=02x2+4x-1=0(x-2)2=2(x-2)适合运用直接开平方法适合运用因式分解法适合运用公式法适合运用配方法,3x2-1=0,5(m+2)2=8,-3t2+t=0,2x2x=0,(x-2)2=2(x-2),x2-3x+1=0,3y2-y-1=0,2x2+4x-1=0,x2-4x=2,例1、,解:移项,得,方法一：用因式分解法解,方程左边因式分解,得,方法二：用配方法解,解：,两边同时除以3，得:,开平方，得:,左右两边同时加上，得:,方法三：用公式法解,解:移项,得,=49,这里a=3,b=-5,c=-2,3.公式法：,练一练,例3.解方程,总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,变1：2(x-2)2+5(2-x)-3=0,再变为：2(x-2)2+5x-13=0,2(x-2)2+5x-10-3=0,变2：2(2-x)2+5(2-x)-3=0,(2m+3)2=2(4m+7),2(x-2)2+5(x-2)-3=0,1、用最好的方法求解下列方程1)（3x-2）-49=02)（3x-4）=（4x-3）3)4y=1y,解:（3x-2）=493x-2=7x=x1=3，x2=,解：法一:3x-4=（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7x1=-1，x2=1法二:(3x-4)(4x-3)2=0(3x-4+4x-3)(3x-4x+3)=0(7x-7)(-x-1)=07x-7=0或-x-1=0x1=-1，x2=1,解：3y8y2=0b4ac=6443(-2)=88x=,做一做,2、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程,做一做,（5）(x-1)(x+1)=x,（6）x(2x+5)=2(2x+5),（7）(2x1)2=4(x+3)2,（8）3(x-2)29=0,解一元二次方程恰当方法的选择,开平方法解一元二次方程,当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.,因式分解法解一元二次方程,解一元二次方程的万能法,（公式法解一元二次方程）,求根公式:,共同归纳,1、选择适当的方法解下列方程,强化训练,(y+)(y-)=2(2y-3)3t(t+2)=2(t+2)x2=4x-11(x+101)2-10(x+101)+9=0,y1=y2=2,强化训练,2、比一比，看谁做得快：,x1=-92,x2=-100,t1=-2,t2=2/3,
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