2019年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元质量评估 新人教A版选修2-2.doc

2019年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元质量评估 新人教A版选修2-2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i是虚数单位，计算i+i2+i3=()A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.i+i2+i3=i-1-i=-1.2.(xx天津高考)i是虚数单位,复数=()A.1-iB.-1+iC.+iD.-+i【解析】选A.=1-i.3.(xx天津高二检测)已知i为虚数单位，则复数z=的虚部为()A.1B.-1C.iD.1-i【解析】选B.z=-i，因此虚部为-1.4.(xx临沂高二检测)已知i是虚数单位，m，nR，且m+i=1+ni，则=()A.-1B.1C.-iD.i【解析】选D.由m+i=1+ni(m，nR)，所以m=1且n=1.则=i.5.(xx温州高二检测)复数的共轭复数为()A.-+iB.+iC.-iD.-i【解析】选D.=-+i，共轭复数为-i.6.对于两个复数=-+i，=-i，有下列四个结论：=1；=1；=1；3+3=1，其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.=+=1.=-i.=|-i|=1.3+3=1+1=2，所以正确.7.(xx西安高二检测)若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(aR)不是纯虚数，则()A.a=-1B.a-1且a2C.a-1D.a2【解析】选C.由复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i为纯虚数，则a2-a-2=0且|a-1|-10，解得a=2，a=-1且a0，a2，所以a=-1，当(a2-a-2)+(|a-1|-1)i不是纯虚数时，a-1.8.已知复数z1=m+2i，z2=3-4i，若为实数，则实数m的值为()A.B.C.-D.-【解析】选D.因为实数，且=，所以4m+6=0，得m=-.9.(xx武汉高二检测)若a，bR，则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.a2-6a+10=(a-3)2+10，-b2+4b-5=-(b-2)2-10，所以复数对应的点在第四象限.【变式训练】已知z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(mR)，若复数z对应的点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是_.【解析】将复数z变形为z=(m2-8m+15)+(m2-m-6)i，因为复数z对应的点位于复平面上的第二象限，所以解得3m5.答案：3m510.若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A.-2B.4C.-6D.6【解析】选D.由=是纯虚数，得a-6=0且3+2a0，得a=6.11.(xx成都高二检测)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i，tR，则以下结论中正确的是()A.z对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z对应的点在实轴上方D.z一定是实数【解题指南】通过对复数实部与虚部的范围判断复数对应点所在复平面内的位置.【解析】选C.因为2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为0，t2+2t+2=(t+1)2+11，所以排除A，B，D，选C.12.已知复数z1=a+bi(a，bR)，z2=-1+ai，若|z1|z2|，则实数b适合的条件是()A.b1B.-1b1D.b0【解析】选B.由|z1|z2|得，所以b21，则-1b1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(xx江苏高考)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.【解题指南】把复数z=(5+2i)2转化为代数形式后再判断求解.【解析】由题意z=(5+2i)2=21+20i,故实部为21.答案:2114.(xx潮州高二检测)设z=+i，那么z+z2+z3+z4+z5+z6的值是_.【解析】由z=+i，得=-，即z2-z+1=0.而z-1，所以(z+1)(z2-z+1)=0，即z3=-1.所以原式=z+z2+z3+zz3+z2z3+z3z3=z+z2-1-z-z2+1=0.答案：0【一题多解】原式=，由z=+i，可知z3=-1，从而z6=1，所以原式=0.答案：015.(xx丽江高二检测)复数z满足(1+2i)=4+3i，那么z=_.【解析】(1+2i)=4+3i，=2-i，所以z=2+i.答案：2+i16.已知复数z1=m+(4+m)i(mR)，z2=2cos+(+3cos)i(R)，若z1=z2，则的取值范围是_.【解析】因为z1=z2，所以所以=4-cos.又因为-1cos1，所以34-cos5，所以3，5.答案：3，5三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(xx牡丹江高二检测)计算：(1)(1-i)(1+i).(2)+.【解析】(1)(1-i)(1+i)=(1+i)=(1+i)=+i+i+i2=-1+i.【一题多解】原式=(1-i)(1+i)=(1-i2)=2=-1+i.(2)+=+=i(1+i)+=-1+i+(-i)1007=-1+i+i=-1+2i.18.(12分)(xx福州高二检测)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.【解析】由得解得将x，y代入得(5+4a)-(6+b)i=9-8i所以所以a=1，b=2.【拓展延伸】复数相等利用复数相等可以化复为实，注意利用复数相等时“=”两侧要化复数为标准的代数形式，然后再利用复数相等的概念，实部等于实部，虚部等于虚部求解.19.(12分)(xx长沙高二检测)(1)求复数z=1+cos+isin(-1，试求自然数m，n.【解析】(1)|z|=-2cos.(2)因为lo(m+n)-(m2-3m)i-1，所以式子lo(m+n)-(m2-3m)i是实数，从而有由得m=0或m=3，当m=0时代入得n0，所以n=1；当m=3代入得n-1，与n是自然数矛盾.综上可得m=0，n=1.20.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i，-2+6i，OABC.求顶点C所对应的复数z.【解析】设z=x+yi，x，yR，如图因为OABC，|OC|=|BA|，所以kOA=kBC，|zC|=|zB-zA|，即解得或因为|OA|BC|，所以x=-3，y=4(舍去)，故z=-5.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用(1)复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现，它们可以相互转化.(2)涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.21.(12分)(xx青岛高二检测)已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|=1，求|z-z1|的最大值.【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|1-i|3=2.(2)如图所示，由|z|=1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0，0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2，-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆半径)=2+1.22.(12分)(xx桓台高二检测)求同时满足下列条件的所有的复数z，(1)z+R，且1z+6；(2)z的实部和虚部都是整数.【解析】设z=x+yi(x，yZ)，则z+=x+yi.因为z+R，所以y=0.所以y=0，或x2+y2=10.又1z+6，所以1x6.当y=0时，可以化为1x+6，当x0时，x+0时，x+26.故y=0时，无解.当x2+y2=10时，可化为12x6，即x3.因为x，yZ，故可得z=1+3i，或1-3i，或3+i，或3-i.【变式训练】已知z1=cos+isin2，z2=sin+icos，当为何值时：(1)z1=z2.(2)z1，z2对应点关于x轴对称.(3)|z2|.【解析】(1)z1=z2=2k+(kZ).(2)z1与z2对应点关于x轴对称=2k+(kZ).(3)|z2|3sin2+cos22sin2-sink-k+(kZ).