资源描述
第五章特殊四边形,第23讲正方形,知识梳理,1.正方形的判定和性质:,(1)有一个角是直角,一组邻边相等的平行四边形(定义);(2)有一组邻边相等的_;(3)有一个角是直角的_;(4)对角线相等且互相垂直的_.除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外,还具有以下性质:(1)对角线与边的夹角为45;(2)S=a2(a表示边长);(3)S=l2(l表示对角线).,矩形,菱形,平行四边形,2.平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系:,易错题汇总,1.如图1-23-1,正方形ABCD的边长为8,在各边顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是()A.30B.34C.36D.40,B,2.在一次数学课上,张老师出示了一个题目:“如图1-23-2,ABCD的对角线相交于点O,过点O作EFBD,分别交AB,CD于点F,E,连接DF,BE.请根据上述条件,写出一个正确结论.”其中四位同学写出的结论如下:小青:OE=OF;小何:四边形DFBE是正方形;小夏:S四边形AFED=S四边形FBCE;小雨:ACE=CAF.这四位同学写出的结论不正确的是()A.小青B.小何C.小夏D.小雨,B,3.一顶点重合的两个大小完全相同的边长为3的正方形ABCD和正方形ABCD,如图1-23-3,DAD=45,边BC与DC交于点O,则四边形ABOD的周长是()A.6B.6C.3D.3+3,B,4.(2017黄冈)如图1-23-4,在正方形ABCD的外侧,作等边ADE,则BED的度数是_.,45,考点突破,考点:正方形的性质和判定,1.(2017广东)如图1-23-5,在正方形ABCD中,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正确的是()A.B.C.D.,C,2.(2016广东)如图1-23-6,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A.B.C.+1D.+1,B,3.(2017邵阳)如图1-23-7,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,OBC=OCB.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.,(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.OBC=OCB,OB=OC.AC=BD.平行四边形ABCD是矩形.(2)解:AB=AD(或ACBD,答案不唯一)理由:四边形ABCD是矩形,又AB=AD,四边形ABCD是正方形或四边形ABCD是矩形,又ACBD,四边形ABCD是正方形,变式诊断,4.如图1-23-8,正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上,EF与CD交于点M.已知两正方形的边长均为2,则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()A.-4+B.4+C.8-D.+1,A,5.(2018潍坊)如图1-23-9,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置,BC与CD相交于点M,则点M的坐标为,6.(2017怀化)如图1-23-10,四边形ABCD是正方形,EBC是等边三角形(1)求证:ABEDCE;(2)求AED的度数,(1)证明:四边形ABCD是正方形,EBC是等边三角形,AB=BC=CD=BE=CE,ABC=BCD=90,EBC=ECB=60,ABE=ECD=30.在ABE和DCE中,AB=DC,ABE=DCE,BE=CE,ABEDCE(SAS),(2)解:BA=BE,ABE=30,BAE=(180-30)=75.BAD=90,EAD=90-75=15.同理可得ADE=15.AED=180-15-15=150,基础训练,7.(2018张家界)下列说法正确的是()A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等B对角线相等的平行四边形是正方形C相等的角是对顶角D角平分线上的点到角两边的距离相等,D,8.(2017六盘水)如图1-23-11,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则AEB=,75,9.如图1-23-12,MON=45,OA1=1,作正方形A1B1C1A2,面积记作S1;继续作第二个正方形A2B2C2A3,面积记作S2;点A1,A2,A3,A4,在射线ON上,点B1,B2,B3,B4,在射线OM上,依此类推,第6个正方形的面积S6等于_.,1024,10.(2018金华改编)如图1-23-13,在RtABC中,ACB=90,AC=12点D在直线CB上,四边形ACDE是正方形直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G(1)若点G为DE的中点,求FG的长;(2)若DG=GF,求BC的长,解:(1)在正方形ACDE中,DG=GE=6,在RtAEG中,EGAC,ACFGEF.,(2)在正方形ACDE中,AE=DE,AEF=DEF=45,且EF=EF,AEFDEF.EAF=EDF,设EAF=EDF=x.AEBC,B=EAF=x.GF=GD,GFD=EDF=x.在DBF中,GFD+FDB+B=180,x+(x+90)+x=180.解得x=30,B=30.在RtABC中,,11.如图1-23-14,四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EFDE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG(1)求证:矩形DEFG是正方形;(2)若AB=2,CE=,求CG的长度;(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30时,直接写出EFC的度数,(1)证明:如答图1-23-1,作EPCD于点P,EQBC于点Q.DCA=BCA,EQ=EP.QEF+FEC=45,PED+FEC=45,QEF=PED.在RtEQF和RtEPD中,QEF=PED,EQ=EP,EQF=EPD,RtEQFRtEPD.EF=ED.矩形DEFG是正方形.,(2)如答图1-23-2,在RtABC中,AC=AB=,EC=,AE=CE.点F与C重合,此时DCG是等腰直角三角形,易知CG=(3)当DE与AD的夹角为30时,EFC=120.当DE与DC的夹角为30时,EFC=30.综上所述,EFC=120或30,
展开阅读全文