2019年高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想数形结合思想.doc

2019年高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想，数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，它涉及三大题型高、中、低档试题都有出现近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面：(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切1运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题此类问题是多元问题中的常见题型，通常有两种处理思路：一是分离变量构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将问题转化为二次方程，进而构造函数加以解决【例1】(xx福建高考)已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有xcex.【解】(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)对任意给定的正数c，取x0，由(2)知，当x0时，x2ex.所以当xx0时，exx2x，即xcex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有xcex.2运用函数与方程思想解决数列问题数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步：回归问题结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题【例2】已知Sn1(nN*)，设f(n)S2n1Sn1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立【解】由f(n)S2n1Sn1，得f(n)，f(n1).f(n1)f(n)0.f(n)f(n1)f(3)f(2)(nN*，n2)f(n)minf(2).要使对于一切大于1的正整数n，原不等式恒成立，只需不等式logm(m1)2log(m1)m2成立设ylogm(m1)2，则y0.于是解得0y且m2.实数m的取值范围为(2，)3运用函数与方程思想解决几何问题在立体几何和解析几何中有许多问题需要运用到方程或建立函数表达式的方法加以解决特别是在解析几何中涉及到范围或最值问题时可用如下思路去完成：第一步：联立方程第二步：求解判别式.第三步：代换利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换第四步：下结论将上述等量代换式代入0或0中，即可求出目标参数的取值范围第五步：回顾反思在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节【例3】(xx四川高考)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形()求椭圆C的标准方程；()设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.()证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；()当最小时，求点T的坐标()【解】由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.()()【证明】由()可得，F的坐标是(2,0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.()【解】由()可得，|TF|，|PQ|所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值所以当最小时，T点的坐标是(3,1)或(3，1)二、数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系1应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用2运用数形结合思想解决讨论方程内解或图象的交点问题用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数【例4】(xx天津高考)已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_【解】原问题等价于方程f(x)a|x1|恰有4个互异的实数根解法一：分别画出函数yf(x)与ya|x1|的图象(1)由x23xa(x1)得，x2(3a)xa0，(3a)24a，由0得a9或a1(舍)，此时a9，(2)由x23xa(1x)，得x2(3a)xa0，由0得a1或a9(舍)，结合图象知0a1，由(1)(2)知0a9，a(0,1)(9，)解法二：分离参数法a，由平移和对称知画出函数y的图象，由图知a(0,1)(9，)【答案】(0,1)(9，)3运用数形结合思想解决有关最后问题“形”可以使某些抽象问题具体化，而数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果(1)把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点(x1，y1)和(x2，y2)的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点(动点在一个区域内)的形式：或(am)2(bn)2：看作是两点(a，b)和(m，n)间的距离或距离的平方(2)其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形【例5】(1)已知实数x，y满足不等式组求函数z的值域；求w的最值(2)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4B5C6D7【解析】(1)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2y24的右半圆域(含边界)，z可改写为y3z(x1)，把z看作参数，则此方程表示过定点P(1，3)，斜率为z的直线系所求问题的几何意义是：求过半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点与点P(1，3)的直线斜率的最大、最小值由图显见，过点P和点A(0,2)的直线斜率最大，zmax5.过点P向半圆作切线，切线的斜率最小设切点为B(a，b)，则过B点的切线方程为axby4.又B在半圆周上，P在切线上，则有又a0，解得，因此zmin.综上可知函数的值域为.所求问题的几何意义是：求半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点到P(1，3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知wmax|PO|r2，wmin|PC|，即最大值为2，最小值为.(2)f(x)min2x，x2,10x(x0)的图象如图令x210x，解得x4.当x4时，f(x)取最大值，f(4)426.故选C.【答案】C4运用数形结合思想解决解析几何中的问题在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化【例6】已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值【解】根据题意，画出图形如下图，当动点P沿直线3x4y80向左上方或向右下方无穷远处运动时，RtPAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线3x4y80时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.(S四边形PACB)min2|PA|AC|2.