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3.2.3指数函数与对数函数的关系,一,二,一、反函数的概念【问题思考】1.(1)已知一次函数y=2x-1,你能从方程的角度把x用y表示出来吗?,一,二,2.填空.(1)构成反函数的前提:函数f(x)是一一映射.(2)反函数的定义把函数f(x)的因变量作为新的函数的自变量,而把函数f(x)的自变量作为新的函数的因变量,我们就称这两个函数互为反函数.(3)反函数的记法函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.,一,二,二、指数函数与对数函数的关系【问题思考】1.函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的解析式有何内在联系?提示:根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一内在联系可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.2.函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的单调性有一致性吗?提示:当01时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致性,但变化速度有差异.,一,二,3.填空.(1)关系指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1)互为反函数.(2)图象特征指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1)的图象关于直线y=x对称.(3)单调性当a1时,在区间1,+)内,指数函数y=ax随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y=logax的增长速度逐渐变得很缓慢.,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)任何函数都有唯一一个反函数.()(2)若函数y=logax的图象过点(m,n),则函数y=ax的图象定过点(n,m).()(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.()答案:(1)(2)(3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,求反函数【例1】求下列函数的反函数:,分析:按照求反函数的基本步骤求解即可.解:(1)由y=log2x,得x=2y,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求函数的反函数的主要步骤:(1)从y=f(x)中解出x=(y);(2)x,y互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1求函数y=2x+1(x0)的反函数.解:由y=2x+1,得2x=y-1,x=log2(y-1),y=log2(x-1).又x0,02x1,12x+12.所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1x0,且a1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()(2)将y=2x的图象(),再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.A.先向上平行移动一个单位长度B.先向右平行移动一个单位长度C.先向左平行移动一个单位长度D.先向下平行移动一个单位长度,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:(1)方法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C.其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.方法二:若01,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.方法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选B.(2)本题是关于图象的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何图形直观推断.答案:(1)B(2)D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟互为反函数的图象特点:(1)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,指数函数与对数函数关系的综合应用【例3】设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.分析:根据方程的特点,难以从正面下手,可转变方程形式,用数形结合的方法求解.解:将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.如图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标为A(a,b),B(b,a).则A,B都在直线y=-x+3上,b=-a+3(A点坐标代入),或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.反思感悟根据指数函数与对数函数图象的关系,利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对反函数定义理解:不清而致误【典例】已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过定点(1,2018),则y=f-1(x+1)的图象过定点.错解:g(x)的图象过定点(1,2018),y=f(x+1)的图象过定点(2018,1).y=f-1(x+1)的图象过定点(1,2018).以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解过程是把f(x+1)与f-1(x+1)误认为是互为反函数了,实际上f(x)与f-1(x)是互为反函数的,对此不能对自变量x随意变化拓展.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解:g(x)的图象过定点(1,2018),f(x+1)的图象过定点(2018,1).又f(x)的图象可以看作由f(x+1)的图象向右平移一个单位长度得到的,f(x)过定点(2019,1).又f(x)与f-1(x)互为反函数,f-1(x)的图象过定点(1,2019).再结合f-1(x)与f-1(x+1)的关系可知,f-1(x+1)的图象过定点(0,2019).防范措施1.防止以上错误的产生,首先要明确反函数的求解原则和步骤,并且要清楚f(x)与f-1(x)是互为反函数的本质是等式中的x,y进行了互换.2.对于复合函数f(x+1)的函数的求解,可将“x+1”看成整体来对待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知函数y=f(x-2)的图象过定点(2,6),则函数y=f-1(x-2)的图象过定点.答案:(8,0),答案:B2.函数y=x+2(xR)的反函数为()A.x=2-yB.x=y-2C.y=2-x(xR)D.y=x-2(xR)解析:由y=x+2(xR),得x=y-2(xR).互换x,y,得y=x-2(xR).答案:D,
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