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3.3幂函数,一,二,一、幂函数的定义【问题思考】1.请说出函数y=2x与y=x2的自变量的特征,y=x2是指数函数吗?提示:函数y=2x是前面刚学过的指数函数,自变量x为指数幂的指数.而函数y=x2中自变量x为指数幂的底数.y=x2不是指数函数,而是本节课将要学习的幂函数.2.一次函数和二次函数都是幂函数吗?提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.一次函数中的y=x与二次函数中的y=x2才是本节课研究的结构形式,能称为幂函数.3.填空.一般地,形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中为常数.,一,二,二、函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象与性质【问题思考】1.在同一坐标系内作出上述五种函数的图象.回答以下问题:(1)仅考虑第一象限内的图象,这五个函数的图象都过哪个定点?提示:点(1,1).(2)函数y=x,y=x2,y=x3,图象所过公共点是哪个?提示:点(0,0),点(1,1).(3)这五个函数的图象均不过哪个象限?你能发现更一般的结论吗?提示:上述五个函数的图象均不过第四象限,一般地,对幂函数y=x而言,当x0时,必有y0,故幂函数的图象不过第四象限.,一,二,2.(1)在幂函数y=x中,如果是正偶数(=2n,n为非零自然数),如=2,4,6,这一类函数具有哪些重要性质?提示:重要性质:定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;函数在(-,0上为减函数,在0,+)内为增函数.(2)在幂函数y=x中,如果是正奇数(=2n-1,n为非零自然数),如=1,3,5,这一类函数具有哪些重要性质?提示:重要性质:定义域、值域为R,图象都过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;函数在R上是增函数.(3)幂函数y=x,x0,+),1与01还是0(-1.25)3.(3)y=x-1在(0,+)内是减函数,5.255.26-1.y=5.26x在R上是增函数,-1-2.5.26-15.26-2.综上,5.25-15.26-15.26-2.(4)01,log30.50,log30.50.5330.5.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟比较幂形式的两个数大小的常用方法:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性.(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性.(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是()A.0.761,00.761,log0.760,所以log0.76m1解析:由幂函数的图象及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m0,n0.又由y=xm的图象与直线y=x比较,得0m1.答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟画图象时,一般先画第一象限内的图象,再结合函数性质补全图象,幂函数的图象与幂指数间有如下规律:(1)指数大于1,在第一象限的图象,类似于y=x2的图象;(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线;(3)指数大于0小于1,在第一象限的图象,类似于的图象;(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线;(5)指数小于0,在第一象限类似于y=x-1的图象.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,
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