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2019-2020年高三第一次月考理科数学试题 Word版含答案考试范围:集合、逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式(含选讲)立体几何.时量:120分钟 总分:150分 命题:曹干铁 审题:魏 忠一选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1集合若,则()A B CD(第4题图)2命题“”的否定是()A B C D3已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且( )A3 B1 C1 D34一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( ) A B C D5同时具有性质:“最小正周期是;图象关于直线对称;在上是增函数”的一个函数是()A BC D6已知命题:是成立的充分不必要条件;命题:若不等式对恒成立,则,在命题 中,真命题是()A B C D 7若,则( )A B C D8不等式0对于任意及恒成立,则实数的取值范围是( )A B C D9已知函数是R上的可导函数,且的图象是连续不断的,当时,有,则函数的零点个数是()A0 B1 C2 D310在平面上,,.若,则的取值范围是( )A B C D二填空题:本大题5小题,每小题5分,共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。(第12题图)11已知且,则 . 12如图,两块阴影部分的面积和为_ 13若关于的不等式 的解集为,则 . 14.已知正实数满足,则的最小值为 . 15在当今的信息化社会中,信息安全显得尤为重要,为提高信息在传输中的安全性,通常在原信息中按一定规则对信息加密,设定原信息为,(i=1,2,3n),传输当中原信息中的1都转换成01,原信息中的0都转换成10,定义这种数字的转换为变换,在多次的加密过程中,满足,k=1,2,3,(1)若A2:10010110,则A0为_ ;(2)若A0为10,记中连续两项都是l的数对个数为,k=l,2,3,则 .三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16(本小题满分12分)在中,三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且()求角的大小;()求的取值范围17(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,平面,()求证:平面平面;()求二面角的大小18.(本小题满分12分)已知正数数列的前项和满足:.(I)求数列的通项公式;(II)设,求数列的前项和. 19(本小题满分13分)如图,某自来水公司要在公路两侧安装排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线安装排水管,在路南侧沿直线安装排水管(假设水管与公路的南,北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线),现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通已知AB = 60m,BC = 60m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成角为矩形区域内的排管费用为W(I)求W关于的函数关系式;(II)求W的最小值及相应的角20(本小题满分13分)已知为正整数,(I)证明:当时,;(II)对于,已知,求证:.21. (本小题满分13分)设函数.(I)讨论函数的单调性;(II)若有两个极值点;记过点的直线斜率为.问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.长沙市周南中学xx届高三第一次月考参考答案1ABCAC ACDBD 11; 12; 13; 14. ;15 解:(1)由变换T的定义可知,若:10010110,则为 10;(2)因为1转换成01,0转换成10,所以10转换成0110;故考虑中10数对的个数,设中10数对的个数为,而中11数对只能由中10数对变换得到,所以,故考虑中数对10的个数,而中10数对可能由中0得到,也可由中的11得到,根据变换T的定义以及,可得中0和1的个数总相等,且有个,故, 又由A0:10变换得到:0110,:10010110,所以,当k为奇数时(k3,kN*),叠加得= ,k=1时也成立,同理,当k为偶数数时(k4 ,kN*), ,k=2时也成立,综上,可得 ,kN*故答案为:(1)10、(2),kN*(第一空2分)三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16(本小题满分12分)在中,三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且()求角的大小;()求的取值范围解()由余弦定理可得:,即,由得 ()由得, , , , 的取值范围为17(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,平面,()求证:平面平面;()求二面角的大小ABCEFDO17解()证明:取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,DF,则2OFBA AB平面BCE,CD平面BCE,2CD BA,OFCD,OCFD BC=CE,OCBE,又AB平面BCE.OC平面ABE. FD平面ABE.从而平面ADE平面ABE. ()二面角AEBD与二面角FEBD相等,由()知二面角FEBD的平面角为FOD。BC=CE=2, BCE=1200,OCBE得BO=OE=,OC=1,OFDC为正方形,FOD=,ABCEFDOxyz二面角AEBD的大小为 解法2:取BE的中点O,连OC.BC=CE, OCBE,又AB平面BCE. 以O为原点建立如图空间直角坐标系Oxyz,则由已知条件有: ,设平面ADE的法向量为,则由及可取 又AB平面BCE,ABOC,OC平面ABE,平面ABE的法向量可取为.=0, ,平面ADE平面ABE. 6分()设平面BDE的法向量为,则由及可取 平面ABE的法向量可取为 锐二面角AEBD的余弦值为=, 二面角AEBD的大小为 18.(本小题满分12分)已知正数数列的前项和满足:. (I)求数列的通项公式;(II)设,求数列的前项和. 18.解:(I)当时, ,所以,;又, 两式相减得:,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列故数列的通项公式为6分(II))由(1)可得,记数列的前项和为,则记故数列的前项和12分19(本小题满分13分)如图,某自来水公司要在公路两侧安装排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线安装排水管,在路南侧沿直线安装排水管(假设水管与公路的南,北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线),现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通已知AB = 60m,BC = 60m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成角为矩形区域内的排管费用为W(I)求W关于的函数关系式;(II)求W的最小值及相应的角解:(I)如图,过E作,垂足为M,由题意得,故有, ,所以W=。 6分(II)设,则令得,即,得列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有,此时有答:排管的最小费用为万元,相应的角 13分20(本小题满分13分)已知为正整数,(I)证明:当时,;(II)对于,已知,求证:.20()解法1:证:用数学归纳法证明:()当时,原不等式成立;当时,左边,右边,因为,所以左边右边,原不等式成立;()假设当时,不等式成立,即,则当时,于是在不等式两边同乘以得,所以即当时,不等式也成立综合()()知,对一切正整数,不等式都成立6分解法2:导数法(略)()证:当时,由()得, 8分于是,11分13分21. (本小题满分13分)设函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若有两个极值点;记过点的直线斜率为.问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.21.解:(1)的定义域为令当故上单调递增当的两根都小于0,在上,故上单调递增当的两根为,当时, ;当时, ;当时, ,故分别在上单调递增,在上单调递减6分(2)由(1)知,因为,所以又由(I)知,于是若存在,使得则即亦即再由(I)知,函数在上单调递增,而,所以这与式矛盾故不存在,使得13分.
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