2019-2020年高三数学上学期第一次诊断试卷 理（含解析）.doc

2019-2020年高三数学上学期第一次诊断试卷 理（含解析）一、选择题（每小题5分）1已知复数z=1+，则|z|=( )ABC2D32如果a0，1b0，那么下列不等式中正确的是( )Aaab2abBab2aabCaabab2Dab2aba3设xR，则“x”是“3x2+x20”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若点P在角的终边上，且P的坐标为（1，y），则y等于( )ABCD5对于平面、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是( )A若am，an，m，n，则aB若ab，ba，则aC若，=a，=b，则abD若a，b，a，ba，则6如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E为BC的中点，点F在CD边上，若=2，则的值为( )A12B12C15D157在等差数列an中，a9=，则数列an的前11项和S11等于( )A24B48C66D1328若函数f（x）=2sin（）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=( )A32B16C16D329已知函数，若方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )ABC1，+）D10非空数集A=a1，a2，a3，an（nN*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=若非空数集B满足下列两个条件：BA；E（B）=E（A）则称B是A的一个“保均值子集”据此，集合2，3，4，5，6的“保均值子集”有( )A5个B6个C7个D8个二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11（x）6展开式的常数项为_12已知向量和，其中，且，则向量和的夹角是_13在高为100米的山顶P处，测得山下一塔顶A和塔底B的俯角分别为30和60，则塔AB的高为_米14某实验室至少需某种化学药品10kg，现在市场上该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元但由于储存的因素，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为_ 元15已知函数f（x）=xex，记f0（x）=f（x），f1（x）=f（x0），fn（x）=fn1（x）且x2x1，对于下列命题：函数f（x）存在平行于x轴的切线；0；fxx（x）=xex+xxex；f（x1）+x2f（x2）+x1其中正确的命题序号是_（写出所有满足题目条件的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2（1）求f（x）的解析式；（2）为锐角，且f（a+）=，求sin（+）的值17已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=（）求函数f（x）的值域A；（）设函数g（x）=的定义域为集合B，若AB，求实数a的取值范围18某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收人r（x）满足r（x）=假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（）工厂生产多少台产品时盈利最大？19如图，PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（）求证：平面PAC平面ABC；（）求二面角MACB的大小；（）求三棱锥PMAC的体积20（13分）在等比数列an中，设，为数列bn的前n项和（）求an和Tn；（）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围21（14分）设函数f（x）=exax+a（aR），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2（1）求a的取值范围；（2）证明：f（）0（f（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记=t，求（a1）（t1）的值xx学年四川省乐山市高三（上）第一次诊断数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1已知复数z=1+，则|z|=( )ABC2D3考点：复数求模专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的基本运算法则进行化简即可解答：解：z=1+=12i，|z|=，故选：B点评：本题主要考查复数模长的计算，比较基础2如果a0，1b0，那么下列不等式中正确的是( )Aaab2abBab2aabCaabab2Dab2aba考点：不等式的基本性质专题：应用题分析：不妨令a=1，b=，可得ab2=，ab=，从而有 aab2ab 成立解答：解：令a=1，b=，可得ab2=，ab=，可得 aab2ab成立，显然只有A正确，而B、C、D不正确，故选A点评：本题考查不等式与不等关系，不等式性质，在限定条件下比较几个式子的大小，可用特殊值代入法3设xR，则“x”是“3x2+x20”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得出结论解答：解：若x，则3x2+x20，是充分条件，若3x2+x20，解得：x或x1，不是必要条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查了一元二次不等式的性质，是一道基础题4若点P在角的终边上，且P的坐标为（1，y），则y等于( )ABCD考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：由题意根据终边相同的角的定义和表示方法，可得点P的终边在的终边上，由=tan，求得y的值解答：解：点P在角的终边上，而=4+，故点P的终边在的终边上，故有=tan=，y=，故选：D点评：本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，任意角的三角函数的定义，属于基础题5对于平面、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是( )A若am，an，m，n，则aB若ab，ba，则aC若，=a，=b，则abD若a，b，a，ba，则考点：命题的真假判断与应用专题：空间位置关系与距离分析：A利用线面垂直的定义和判定定理判断B利用线面平行的判定定理判断C利用面面平行的性质判断D利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断解答：解：A根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误B根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面外，所以B错误C根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确D根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行所以D错误故选C点评：本题主要考查空间直线，平面间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理的应用6如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E为BC的中点，点F在CD边上，若=2，则的值为( )A12B12C15D15考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，写出A，B，E，F的坐标，进而得出与的坐标，再由向量的坐标公式和数量积的坐标表示，即可得到所求解答：解：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），E（3，3），F （2，6），则=（3，3），=（1，6），则=3+18=15，故选D点评：本题主要考查平面向量的数量积的运算，本解法利用了坐标法解决向量问题7在等差数列an中，a9=，则数列an的前11项和S11等于( )A24B48C66D132考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据数列an为等差数列，a9=，可求得a6，利用等差数列的性质即可求得数列an的前11项和S11解答：解：列an为等差数列，设其公差为d，a9=，a1+8d=（a1+11d）+6，a1+5d=12，即a6=12数列an的前11项和S11=a1+a2+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+（a5+a7）+a6=11a6=132故选D点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a6的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题8若函数f（x）=2sin（）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=( )A32B16C16D32考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：由f（x）=2sin（）=0可得x=6k2，kZ2x10x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）=（x1+x2，y1+y2）（4，0）=4（x1+x2）=32故选D点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用9已知函数，若方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )ABC1，+）D考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：求出函数f（x）的表达式，由f（x）kx+k=0得f（x）=kxk，然后分别作出y=f（x）和y=kxk的图象，利用图象确定k的取值范围解答：解：当0x1时，1x10，所以f（x）=，由f（x）kx+k=0得f（x）=kxk，分别作出y=f（x）和y=kxk=k（x1）的图象，如图：由图象可知当直线y=kxk经过点A（1，1）时，两曲线有两个交点，又直线y=k（x1）过定点B（1，0），所以过A，B两点的直线斜率k=所以要使方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k0故选B点评：本题主要考查函数零点的应用，将方程转化为两个函数，利用数形结合，是解决本题的关键10非空数集A=a1，a2，a3，an（nN*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=若非空数集B满足下列两个条件：BA；E（B）=E（A）则称B是A的一个“保均值子集”据此，集合2，3，4，5，6的“保均值子集”有( )A5个B6个C7个D8个考点：众数、中位数、平均数专题：概率与统计分析：由题得E（A）=4，由定义可知集合B有7个解答：解：由题得E（A）=4，由定义可知集合B有7个：4，2，6，3，5，2，4，6，3，4，5，2，3，5，6，2，3，4，5，6故选：C点评：本题考查满足条件的“保均值子集”个数的求法，解题时要注意平均数的合理运用，是基础题二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11（x）6展开式的常数项为20考点：二项式系数的性质专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：由于（x）6展开式的通项公式为 Tr+1=（1）rx62r，令62r=0，求得 r=3，可得（x）6展开式的常数项为=20，故答案为：20点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题12已知向量和，其中，且，则向量和的夹角是考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题；平面向量及应用分析：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角解答：解：设向量和的夹角是，则，且，=2=22coscos=0，=故答案为：点评：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题13在高为100米的山顶P处，测得山下一塔顶A和塔底B的俯角分别为30和60，则塔AB的高为米考点：解三角形的实际应用专题：计算题；应用题；解三角形分析：由题意，设塔高为h米，由题知APQ=60，PBQ=30，则APB=30，在PBQ，APB中求解即可解答：解：如图所示，设塔高为h米，由题知APQ=60，PBQ=30，则APB=30，在PBQ中，PB=，则在APB中，由正弦定理得，=，解得h=（米）故答案为：点评：本题考查了解三角形在实际问题中的应用，属于中档题14某实验室至少需某种化学药品10kg，现在市场上该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元但由于储存的因素，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为44 元考点：简单线性规划的应用专题：计算题；应用题；压轴题；数形结合分析：设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使花费最少，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解解答：解：设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，则约束条件为：，（5）目标函数为z=12x+10y，（7）作出可行域，（11）使目标函数为z=12x+10y取最小值的点（x，y）是A（2，2）此时z=44（13）答：应价格为12元的2袋，价格为10元2袋，花费最少为44元（15）故答案为：44点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中15已知函数f（x）=xex，记f0（x）=f（x），f1（x）=f（x0），fn（x）=fn1（x）且x2x1，对于下列命题：函数f（x）存在平行于x轴的切线；0；fxx（x）=xex+xxex；f（x1）+x2f（x2）+x1其中正确的命题序号是（写出所有满足题目条件的序号）考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义判断正确，根据导数和函数的单调性判断错；根据导数的运算，得到正确，根据导数与函数的单调性的关系判断错解答：解：对于，因为f（x）=（x+1）ex，易知f（1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故正确；对于，因为f（x）=（x+1）ex，所以x（，1）时，函数f（x）单调递减，x（1，+）时，函数f（x）单调递增，故0不能确定，故错；对于，因为f1（x）=f（x0）=xex+2ex，f2（x）=f1（x）=xex+3ex，fn（x）=fn1（x）=xex+（n+1）ex，所以fxx（x）=fxx（x）=xex+xxex；故正确；对于，f（x1）+x2f（x2）+x1等价于f（x1）x1f（x2）x2，构建函数h（x）=f（x）x，则h（x）=f（x）1=（x+1）ex1，易知函数h（x）在R上不单调，故错；故答案为：点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2（1）求f（x）的解析式；（2）为锐角，且f（a+）=，求sin（+）的值考点：正弦函数的图象；运用诱导公式化简求值专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由周期求得，根据函数的奇偶性求得，可得函数的解析式（2）由f（a+）=cos（+）=，为锐角，求得sin（+）的值，再根据sin（+）=cos=cos（+），利用两角差的余弦公式计算求得结果解答：解：（1）图象上相邻的两个最高点间的距离为2，T=2，求得=1又f（x）为偶函数，则=k+，kz，结合0，可得=，故f（x）=sin（x+）=cosx（2）由f（a+）=cos（+）=，为锐角，所以，sin（+）=，sin（+）=cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题17已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=（）求函数f（x）的值域A；（）设函数g（x）=的定义域为集合B，若AB，求实数a的取值范围考点：函数奇偶性的性质；集合关系中的参数取值问题专题：计算题分析：（I）根据偶函数的性质可知，只需研究x0时，f（x）的取值范围即为函数的值域，根据指数函数的单调性可求出所求；（II）根据偶次根式的被开方数大于等于0，以及AB建立关系式，可求出a的取值范围解答：解：（I）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x0时，f（x）的取值范围当x0时，01，故函数f（x）的值域A=（0，1（II）g（x）=定义域B=x|x2+（a1）x+a0由x2+（a1）x+a0得x2（a1）xa0，即 （xa）（x+1）0ABB=1，a且a1实数a的取值范围是a|a1点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数的单调性和一元二次不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题18某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收人r（x）满足r（x）=假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（）工厂生产多少台产品时盈利最大？考点：分段函数的应用专题：应用题；函数的性质及应用分析：（I）依题意得g（x）=x+3，设利润函数为f（x），根据f（x）=r（x）g（x），可得f（x）=，要使工厂有盈利，则有f（x）0，解不等式可得结论；（）分段求出函数的最值，比较可得结论解答：解：依题意得g（x）=x+3，设利润函数为f（x），则f（x）=r（x）g（x），所以f（x）=（I）要使工厂有盈利，则有f（x）0，所以或，所以3x10.5所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内（II）当3x7时，f（x）=0.5（x6）2+4.5故当x=6时，f（x）有最大值4.5而当x7时，f（x）10.57=3.5所以当工厂生产600台产品时，盈利最大 点评：本题给出工厂生产的实际应用问题，求最大盈利时的产量x值，着重考查了基本初等函数的单调性、不等式的解法和用函数知识解决实际应用问题等知识，属于中档题19如图，PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（）求证：平面PAC平面ABC；（）求二面角MACB的大小；（）求三棱锥PMAC的体积考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题专题：证明题；综合题；转化思想分析：法一（）通过证明PC平面ABC，证明平面PAC平面ABC；（）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明MHN为二面角MACB的平面角，解三角形求二面角MACB的大小；（）三棱锥PMAC的体积，转化VPMAC=VAPCM=VAMNC=VMACN，求出底面ACN的面积，求出高MN即可法二（）在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz，求出平面MAC的一个法向量为，平面ABC的法向量取为=（0，0，1）利用，解答即可（）取平面PCM的法向量取为=（1，0，0），则点A到平面PCM的距离，求出体积即可解答：解法一：（）PCAB，PCBC，ABBC=B，PC平面ABC，又PC平面PAC，平面PAC平面ABC（）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，PMCN，MNPC，从而MN平面ABC作NHAC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，ACNH，从而MHN为二面角MACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为600AMN=60在ACN中，由余弦定理得AN=；在AMN中，MN=ANcotAMN=1；在CNH中，NH=CNsinNCH=1；在MNH中，MN=tanMHN=；故二面角MACB的平面角大小为arctan（）由（）知，PCMN为正方形VPMAC=VAPCM=VAMNC=VMACN=解法二：（）同解法一（）在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz（如图）由题意有，设P（0，0，z0）（z00），则M（0，1，z0），由直线AM与直线PC所成的解为60，得，即z02=，解得z0=1，设平面MAC的一个法向量为，则，取x1=1，得，平面ABC的法向量取为，设与所成的角为，则cos=，显然，二面角MACB的平面角为锐角，故二面角MACB的平面角大小为arccos（）取平面PCM的法向量取为，则点A到平面PCM的距离h=，|=1，VPMAC=VAPCM点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力20（13分）在等比数列an中，设，为数列bn的前n项和（）求an和Tn；（）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质专题：综合题分析：（）先确定等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求通项，进而利用裂项法求数列bn的前n项和；（）分类讨论：当n为偶数时，由Tnn2恒成立得；当n为奇数时，由Tnn+2恒成立得，由此可得实数的取值范围解答：解：（）设an的公比为q，由得，=（）当n为偶数时，由Tnn2恒成立得，恒成立，即，而随n的增大而增大，n=2时，0；当n为奇数时，由Tnn+2恒成立得，恒成立，即，而，当且仅当等号成立，9综上，实数的取值范围（，0）点评：本题考查等比数列的通项，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查求最值，属于中档题21（14分）设函数f（x）=exax+a（aR），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2（1）求a的取值范围；（2）证明：f（）0（f（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记=t，求（a1）（t1）的值考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（1）由f（x）=exax+a，知f（x）=exa，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；（2）由x1、x2的关系，求出，然后再根据f（x）=exa的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；（3）利用ABC为等腰直角三角形的性质，求出，然后得到关于参数a的方程，求得问题的答案解答：解：（1）f（x）=exax+a，f（x）=exa，若a0，则f（x）0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾a0，令f（x）=0，则x=lna，当f（x）0时，xlna，f（x）是单调减函数，当f（x）0时，xlna，f（x）是单调增函数，于是当x=lna时，f（x）取得极小值，函数f（x）=exax+a（aR）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1x2），f（lna）=a（2lna）0，即ae2，此时，存在1lna，f（1）=e0，存在3lnalna，f（3lna）=a33alna+aa33a2+a0，又由f（x）在（，lna）及（lna，+）上的单调性及曲线在R上不间断，可知ae2为所求取值范围（2），两式相减得记，则，设g（s）=2s（eses），则g（s）=2（es+es）0，g（s）是单调减函数，则有g（s）g（0）=0，而，又f（x）=exa是单调增函数，且 （3）依题意有，则xi1（i=1，2）于是，在等腰三角形ABC中，显然C=90，即y0=f（x0）0，由直角三角形斜边的中线性质，可知，即，即x110，则，又，即，（a1）（t1）=2点评：本题属于难题，考察了分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力