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成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题数 学（理科）题号一二三总分171819202122得分注意事项：全卷满分为150分，完成时间为120分钟。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(AB)P(A)P(B)S4R2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(AB)P(A)P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径第卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。1lg83lg5的值为 (A) 3 (B) 1 (C) 1 (D) 32若，则下列不等式中总成立的是 (A) (B) (C) (D) 3设或 或，则是的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4已知是R上的增函数，若令，则是R上的 (A) 增函数 (B) 减函数(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数5已知直线l平面，直线m平面，有下列四个命题：。其中真命题是(A) (B) (C) (D) 6将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则向量可以是 (A) (B) (C) (D) 7掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为(A) (B) (C) (D) 8已知，且的图象的对称中心是(0,3)，则a的值为(A) (B) 2 (C) (D) 39设向量，若t是实数，且，则的最小值为(A) (B) 1 (C) (D) 10有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为(A) 168 (B) 84 (C) 56 (D) 4211已知定义在R上的函数满足，且，则 (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 112对于集合M、N，定义MN=，。设，则(A) (B) (C) (D) 第卷 （非选择题，共90分）得分评卷人二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上。13的展开式中，x10的系数为 （用数字作答）。14在数列和中，bn是an和an+1的等差中项，a1=2且对任意都有，则的通项bn= 。15若规定，则不等式的解集为 。16如图，棱长为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为 。三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。得分评卷人17（共12分）甲、乙两人参加一项智力测试。已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过。（I）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；（II）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率。得分评卷人18（共11分）已知ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c,bac且。求sin2A的值。得分评卷人19（共14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，且PDABa，E是PB的中点。（I）求异面直线PD、AE所成的角；（II）在平面PAD内求一点F，使得EF平面PBC；（III）求二面角FPCE的大小。得分评卷人20（共12分）已知向量、t为正实数，。（I）若，求k的最大值；（II）是否存在k、t使？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。得分评卷人21（共12分）某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润万元。当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润万元。问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？得分评卷人 22（共13分）已知定义在（1,1）上的函数f (x)满足，且对x,y时，有。（I）判断在(1，1)上的奇偶性，并证明之； （II）令，求数列的通项公式；（III）设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题数学试题（理科）参考答案及评分意见第卷 （选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1原式=3lg2+3lg5=3lg10=3，选（D）。2由，选（C）或令特值：a=2,b=1，排除（A）、（D），再令，排除（B）。3；反之，推不出q推不出。选（A）4取，则为减函数，选（B）。5对、可画图举出反例，选（D）。6，由的图象变为的图象，选（B）。7有三种可能的情况：连续3次都掷得正面，其概率为；第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为；第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为。因而恰好得3分的概率为+=，选（A）。8，其对称中心是（0,a+1）。a+1=3a=2。选（B）9选（C）。10分两类：甲运B箱，有种；甲不运B箱，有。不同的分配方案共有+=42（种），选（D）。11的周期为3。又，从而故+。选（A）。12由题意，A=。，选（C）。第卷 （非选择题，共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）13设由。的系数为。14。是公比为的等比数列。15或1x2。16可求得设该球的半径为R，则AO=R。由+，得。三、解答题：（共74分）17解：（I）甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3。甲答对试题数的概率分布如下：0123P故甲答对试题数的数学期望为 4分。 2分（II）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A、B，则，。 2分、B相互独立，甲、乙两人都未通过测试的概率为。 2分甲、乙两人至少有一个通过测试的概率为。 2分18解：由有 ， 2分 即。 2分即。 1分A、B、C是三角形的内角，。 2分又bac，A为锐角。 2分。 2分19解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0) , B(a,a,0)， C(0,a,0),P(0,0,a) 。 又 。故异面直线AE、DP所成角为。 5分（II）F平面PAD，故设F(x,0,z)，则有。EF平面PBC，且。又，从而，取AD的中点即为F点。 4分（III）PD平面ABCD， CD是PC在平面ABCD上的射影。又CDBC，由三垂线定理，有PCBC。取PC的中点G，连结EG，则EG/BC。EGPC。连结FG。EF平面PBC，EG是FG在平面PBC上的射影，且PCEG，FGPC。FGE为二面角FPCE的平面角。二面角FPCE的大小为。 5分20解：。 2分（I）若则，即。 2分整理，得。当且仅当，即t=1时，“=”成立。 3分（II）假设存在正实数k、t，使，则。 2分化简，得，即。 2分、t是正实数，故满足上式的k、t不存在。不存在这样的正实数k、t，使。 1分21解：在实施规划前，由题设（万元），知每年只须投入40万，即可获得最大利润100万元。则10年的总利润为W1=10010=1000（万元）。 3分实施规划后的前5年中，由题设知，每年投入30万元时，有最大利润（万元）。前5年的利润和为（万元）。 3分设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的（60x）万元于外地区的销售投资，则其总利润为 。 3分当x=30时，W2|max=4950（万元）。从而10年的总利润为（万元）。 2分，故该规划方案有极大实施价值。 1分22解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。 又当x=0时，即。对任意时，都有。为奇函数。 3分（II）满足。在上是奇函数，即。是以为首项，以2为公比的等比数列。 5分（III） = 。假设存在正整数m，使得对任意的，有成立，即对恒在立。只需，即故存在正整数m，使得对，有成立。此时m的最小值为10。 5分
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