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2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)(数学理)【教师简评】按照“保持整体稳定,推动改革创新,立足基础考查,突出能力立意”命题指导思想,本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主,难度较前两年困难,得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题,小题起步较低,难度缓缓上升,除了选择题11、12、16题有一定的难度之外,其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易,立体几何难度和去年持平,数列题的难度较去年有所提升,由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明,不易拿满分,概率题由去年背景是“人员调配”问题,转变为今年的与物理相关的电路问题,更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制,和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力,例如立体几何问题,题目不难,但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化,“夯实双基(基础知识、基本方法)”,对大多数考生来说,是以不变应万变的硬道理.(1)复数(A) (B) (C) (D)【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】.(2).函数的反函数是(A) (B)(C) (D)【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得,即,又;在反函数中,故选D.(3).若变量满足约束条件则的最大值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由构成的三角形,可知目标函数过C时最大,最大值为3,故选C.(4).如果等差数列中,那么(A)14 (B)21 (C)28 (D)35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】(5)不等式的解集为(A) (B)(C) (D)【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2x1或x3,故选C(6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.(7)为了得到函数的图像,只需把函数的图像(A)向左平移个长度单位 (B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位 (D)向右平移个长度单位【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】=,=,所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像,故选B. (8)中,点在上,平方若,则(A) (B) (C) (D)【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理.【解析】因为平分,由角平分线定理得,所以D为AB的三等分点,且,所以,故选B.(9)已知正四棱锥中,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(A)1 (B) (C)2 (D)3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a,则高所以体积,设,则,当y取最值时,解得a=0或a=4时,体积最大,此时,故选C.(10)若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则 (A)64 (B)32 (C)16 (D)8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的计算能力.【解析】,切线方程是,令,令,三角形的面积是,解得.故选A.(11)与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点(A)有且只有1个 (B)有且只有2个(C)有且只有3个 (D)有无数个【答案】D【解析】直线上取一点,分别作垂直于于则分别作,垂足分别为M,N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线定理可得,PNPM;PQAB,由于正方体中各个表面、对等角全等,所以,PM=PN=PQ,即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件,故选D.(12)已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若,则(A)1 (B) (C) (D)2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l为椭圆的有准线,e为离心率,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B为垂足,过B作BE垂直于AA1与E,由第二定义得,由,得,即k=,故选B.第卷注意事项:1用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。2本卷共10小题,共90分。二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分(13)已知是第二象限的角,则 【答案】 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能力.【解析】由得,又,解得,又是第二象限的角,所以.(14)若的展开式中的系数是,则 【答案】1 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.【解析】展开式中的系数是.(15)已知抛物线的准线为,过且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为若,则 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过B作BE垂直于准线于E,M为中点,又斜率为,M为抛物线的焦点,2.(16)已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,若,则两圆圆心的距离 【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质,解三角形问题.【解析】设E为AB的中点,则O,E,M,N四点共面,如图,所以,由球的截面性质,有,所以与全等,所以MN被OE垂直平分,在直角三角形中,由面积相等,可得, 三解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分10分)中,为边上的一点,求【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由cosADC=0,知B.由已知得cosB=,sinADC=.从而 sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得 ,所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.(18)(本小题满分12分)已知数列的前项和()求;()证明:【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用,数列极限和数列不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】【点评】2010年高考数学全国I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.(19)如图,直三棱柱中,为的中点,为上的一点,()证明:为异面直线与的公垂线;()设异面直线与的夹角为45,求二面角的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解,考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一:(I)连接A1B,记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1BB1为正方形,故A1BAB1,且AF=FB1,又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D为BB1的中点,故DEBF,DEAB1. 3分作CGAB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.又由底面ABC面AA1B1B.连接DG,则DGAB1,故DEDG,由三垂线定理,得DECD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.(II)因为DGAB1,故CDG为异面直线AB1与CD的夹角,CDG=45设AB=2,则AB1=,DG=,CG=,AC=.作B1HA1C1,H为垂足,因为底面A1B1C1面AA1CC1,故B1H面AA1C1C.又作HKAC1,K为垂足,连接B1K,由三垂线定理,得B1KAC1,因此B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的的热点,它是处理线线垂直问题的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数形式来处理立体几何问题,淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难度,使解题变得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处.(20)(本小题满分12分) 如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999 ()求p; ()求电流能在M与N之间通过的概率; ()表示T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数,求的期望 【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望,考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置,对考生分析问题的能力要求有所加强,这应引起高度重视.(21)(本小题满分12分) 己知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为 ()求C的离心率; ()设C的右顶点为A,右焦点为F,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力.【参考答案】【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定.(22)(本小题满分12分)设函数()证明:当时,;()设当时,求a的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.
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