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33 三角函数的积化和差与和差化积,重点：掌握积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简，求值和恒等证明 难点：公式的灵活运用 1积化和差公式的特点 (1)同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半 (2)等式左边为单角，等式右边是它们的和(差)角 (3)如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正；无余弦函数，系数为负,2和差化积公式的特点 (1)同名函数的和或差才可化积； (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积； (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积； (4)等式左边为单角和，等式右边为 的形式； (5)只有最后一组的符号为负，其余均为正,3公式的记忆 课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些这样记忆公式 和差化积公式记忆口诀： “正和正在前，正差正后迁； 余和一色余，余差翻了天” (正代表sin，余代表cos)，供仅参考,4公式的应用 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 (2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： 运用公式之后，能否出现特殊角； 运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；,点评 对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看 能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的试图利用已知等式及平方关系分别求取cos，cos，sin，sin的值，导致运算烦琐，难以求解,例3 在ABC中，若sinAsinBcos2 ，则ABC是 ( ) A等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形,解析 由已知等式得 cos(AB)cos(AB) (1cosC)， 又ABC， 所以cos(AB)cos(C)1cosC， 所以cos(AB)1. 又AB，所以AB0，所以AB. 故ABC为等腰三角形 答案 B,点评 判定三角形形状的基本思路是：对已知三角恒等式化简变形，把三角函数关系式最终化成角之间的关系，利用角之间的关系判定形状，在变形时注意合理利用内角和定理及其变形,例4 求sin210cos240sin10cos40的值,解法三：设xsin210cos240sin10cos40， ycos210sin240cos10sin40.则 xy11sin10cos40cos10sin402sin502cos40，,点评 解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式 解法二：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美 解法三：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明 在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新,求sin220cos250sin20cos50的值,例5 求函数y5sin(x20)4cos(x50)的最大值,正解 y5sin(x20)4cos(x50) 5sin(x20)4cos(x20)30 5sin(x20)4cos(x20)cos304sin(x20)sin30,答案 C,答案 D,
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