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1,导 读 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。,第二章 控制系统的数学模型,2,预备知识,复变函数：Laplace变换（拉氏变换）, Z变换 常微分方程解法：Laplace变换和反变换 电路理论 基本的电子学和力学知识,第二章 自动控制系统的数学模型,2.1 系统的微分方程：时域模型，微分方程的建立及线性化。 2.1 拉普拉斯变换：将微分方程变换成代数方程，是经典控制理 论的基础。 2.3 传递函数：借助拉氏变换，给出系统传递函数。经典控制理论中引用最广泛的一种模型。 2.4 控制系统方框图：掌握方块图的建立及化简,6种典型环节 2.5方框图的等效变换及化简,定义：数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。 建立数学模型的目的 是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,5,建立合理的数学模型,建立的数学模型既有准确性，又有简化性 一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的 动态本质，又能简化分析计算的工作。 除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统,被控对象的描述：微分方程,被控 对象,输出y(t),输入u(t),微分方程及其解法的理论是整个控制理论的基础。,2.1 系统的微分方程,2.1.1. 建立系统或元件微分方程的步骤,确定元件输入量和输出量 根据物理或化学定律，列出元件的原始方程 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理 消去中间变量，得到描述元件输入和输出关系的微分方程 对微分方程进行标准化处理：与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系数归化为具有一定物理意义的形式,机械系统微分方程,例1：弹簧-质量-阻尼器串联系统，如图2-1所示。列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移x(t)为输出量的运动方程式。,解：按照列写微分方程式的一般步骤有：,1）确定输入量、输出量，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t) ，均作为中间变量；,2）假设当无外力作用时，系统处于平衡状态；,3）由牛顿第二定律写原始方程：,4）写中间变量与输出变量的关系式：,5）将上式代入原始方程消中间变量得：,6）整理成标准型：,该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。,令,则方程化为：,机械旋转系统,例2：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移(t)为输出信号的数学模型。,解 ：,1）确定输入量、输出量,2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：,3）化简,4) 标准化,uc,ur,例3: RC电路,+,-,uc,ur,+,-,C,i,R,输入量：,输出量：,(1) 确定输入量和输出量,(2) 建立初始微分方程组,(3) 消除中间变量，使式子标准化,ur= Ri + uc,根据基尔霍夫定律得：,微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。,RC电路是一阶常系数线性微分方程。,电气系统的微分方程,例4：电阻-电感-电容串联系统，如图2-1所示。列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,解：按照列写微分方程式的一般步骤有：,1）确定输入量、输出量、中间变量i（t）；,2）忽略输出端负载效应；,3）由基尔霍夫定律写原始方程：,4）列写中间变量与输出变量的关系式：,5）将上式代入原始方程消中间变量得：,表2-1 相似系统中的相似变量,定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式，就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量，叫做相似变量。,相似系统,拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,求解方法：经典法、拉氏变换法。,拉普拉斯变换,拉氏(laplace)变换 定义：设函数f(t)当t=0时有定义，而且积分 存在，其中s是复数,则称F(s)是f(t)的象函数,即f(t)的拉氏变换。记为 f(t)称为 F(s)的原函数。,拉氏反变换为,函数f(t)的拉氏变换,当t0, f(t)=0,拉氏积分运算符,拉普拉斯变换说明,可以证明：f(t)和F(s)将形成一一映射,(1) s是复变量： 在求取拉普拉斯变换时，s的唯一作用是使拉普拉斯积分收敛，可以看成常数。,例如：,说明,当 时，有,(2) f(t)是实函数，且满足：,22,单位阶跃函数1(t) 单位阶跃函数的拉氏变换为,23,单位脉冲函数 单位脉冲函数的拉氏变换为,2)单位斜坡函数,t,0,t,几个重要的拉氏变换,26,拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 若 ，则有 f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。,(3) 积分性质 若 则 式中 为积分 当t=0时的值。,27,(4) 终值定理 即原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。,(5) 初值定理： (6) 位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其 象函数应乘以 b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 乘以 ，即,28,例2.1：用拉氏变换解微分方程,29,重点 建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式 例如：牛顿第二定律、克希霍夫定律、质量守恒定律，刚体旋转定律等 建立的微分方程的标准形式 特点： 方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。,重要提示,我们这个课程会使用很多的数学工具，但是我们不是一门数学课程，学习过程中要特别注意工程的意义！,复域模型 传递函数,2.3.1. 传递函数的定义与性质,定义： 线性定常系统的传递函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。 问题的提出 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响,所谓零初始条件是指 1）输入量在t0时才作用在系统上，即在 时系统输入及各项导数均为零； 2）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在 时系统输出及其所有导数项为零。,33,设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值为0，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得s的代数方程为： 由定义得系统得传递函数为,设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 式中c(t)为系统输出量，r(t)为系统输入量，ai(i=1，2，3n)和 bj (j= 1,2,3.m )是与系统结构和参数有关的常系数,分母中s的最高阶次n即为系统的阶次，该系统称为n阶系统。,试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).,例2.5 如图RLC电路，,解: 零初始条件下取拉氏变换：,传递函数：,35,性质 传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数； 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性.） 只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，不能表征内部所有状态的特征。 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。 服从不同动力学规律的系统可有同样的传递函数。 传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。,36,传递函数的物理意义 显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输入的拉氏变换为，则系统的输出的拉氏变换为 系统的输出为 由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为 所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为,37,单位脉冲输入信号下系统的输出为g(t),则 可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数。,38,2.3.2. 典型环节的传递函数,比例环节: 输出量无滞后，按比例复现输入量,电位器,39,惯性环节 该环节存在储能元件，典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程，其特点是当系统输入有阶跃变化时，系统输出是由零逐渐跟上，如图所示。(a)为系统的输入变化，(b)为系统的输出响应。输出按单调指数规律上升.,40,积分环节 输出量与输入量对时间的积分成正比,微分环节 输出量与输入量的导数成正比,积分放大器原理,41,例2.6：如图所示卫星姿态控制系统,对偏航角的控制,其中A、B为斜对称配置的喷气发动机，推力均为F/2，成对工作。每个发动机到质心的距离为l，那么产生的力矩为T=Fl，假设卫星的转动惯量为J，角位移(t)为输出量，产生的力矩T为输入量，那么根据牛顿第二定律，注意到在卫星周围的环境中不存在摩擦，所以有,其中TJ/l,这是由两个积分环节组成的。,42,振荡环节（二阶环节） 该环节存在两个储能元件，且所储两种能量可以互相转换，故动态过程表现出振荡特性,43,：无阻尼自然振荡频率 ：阻尼比,延滞环节 延滞时间（死区时间） 输出量相对于输入量滞后一个恒定时间,45,关于典型环节的几点说明,一个不可分割的装置或元件可能含有若干典型环节 例如：无源网络 同一元部件，若选择不同的输入量和输出量，将由不同的典型环节组成,C,R,ur（t）,uc（t）,46,有理分式形式 传递函数最常用的形式是下列有理分式形式 传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多项式, D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。 分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式D(s)、N(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m，即 nm。,2.3.3.传递函数的表示方式,47,零极点形式 将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 nm （2.66）,式中 ，称为系统的零点； 为系统的极点； 为系统的根轨迹增益。 系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“ ”表示极点位置，用“ ”表示零点,
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