多元函数的极限与连续.ppt

大课课时安排,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第八章,第一节,一、平面点集 n维空间,二、 n元函数,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的极限与连续,第八章,一、平面点集 n维空间,1. 平面点集,点集,称为点 P0 的邻域.,坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，,说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在平面上,称为平面点集，记作,(1) 邻域,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若点 P 的任一邻域 U(P) 中既有属于 E的点，也有,则称 P 为 E 的内点, 例如 ；,则称 P 为 E 的外点，例如 ;,则称 P 为 E 的边界点，例如 .,不属于E的点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,(2) 内点、外点、边界点,1,2,(3) 聚点,若对任意给定的正数 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E.,聚点可以为,E 的内点 或E的边界点,注,1 内点一定是聚点；,2 边界点可能是聚点, 也可能不是聚点；,但 的点属于 E , 的点不属于 E.,则点集,中的点都是E的内点；,点集,中的点都是E的聚点，,E,例如: 设点集,(4)开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E, 则称 E 为闭集；, 若点集E中任意两点, 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,E的折线相连, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,如，,是闭集、连通集、闭区域.,都可用一完全属于,则称 E 是连通集 ;,是开集、连通集、是区域；,例如，在平面上,开区域,闭区域, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域；,但非区域 ., 对点集E , 若存在正数 K , 使对一切点 P E,P与原点 O的距离 OP K ,则称 E 为有界点集；,否则，称为无界点集 .,2. n 维空间,n 元有序数组,的全体所构成的,中的每一个元素,称为该点或该n维,集合,记作,即,一个点或一个n维向量,当所有坐标,称该点为,中的坐标原点,记作0 .,或n维零向量,向量的第 k 个坐标 .,称为 中的,以及实数，,规定,称引入了上述线性运算的集合,的距离记作,规定为,与零元 0 的距离为,并称,为向量x的模.,显然,中点 a 的 邻域为,二、 n元函数,1. n元函数,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,定义8.1 设非空点集,映射,称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,二元函数的定义域,一般地,二元函数,的图形为空间曲面 .,z = f (x, y), (x, y) D,是平面点集.,例如, 二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点 的上半球面.,又如,三元函数 的定义域是三维空间的点集.,的定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,如, 三元函数,质量为m0,对位于内质量为m的质点M的引力为,引例,的质点,设非空点集,映射,称为定义,在 D 上的 一个n 元向量值函数 , 记作,当m=1 时,就是定义8.1中的n 元函数 ,当n=1 时,就是,第七章讲的一元向量值函数 .,定义8.2,向量值函数的几何或物理意义举例,平面曲线的方程或平面质点随时间运动的轨迹.,空间曲线的方程或空间质点随时间运动的轨迹.,平面向量场或平面到平面的坐标变换.,曲面的方程或一族空间曲线(当固定x或y).,三、多元函数的极限,1. 定义8.3 设 二 元函数,则称 A 为函数,P0(x0, y0) 是 D 的聚点 ,若存在常数 A ,对于一切,记作,总有,使得 0, 0 ,注,3 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到n元 函数 u = f (P), PD Rn上去;,1 在二元函数极限定义中，P P0 是指在 平面上位于D内以任意方式趋于P0 ；,2 二元函数的极限又称为二重极限;,对比：一元函数极限,4 二元函数的极限运算法则与一元函数类似,2. 求二重极限的常用方法,(1) 利用定义,求证:,证,例1,当 时，,原结论成立,?,例2,用变量代换 化二重极限为一元函数的极限.,解,x,y,O,求极限,解,其中,例3,(3) 利用夹逼准则，重要极限,利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限,解,例4,与 k 有关，则可断言: 二重极限,3. 确定极限不存在的方法：,例5,证明下列极限不存在：,(1),证,(1),x,y,O,y = x,x,y,o,y=x,(2),分析,x,y,O,证,其值随 k 的不同而变化，,分析,证,取,其值随k的不同而变化，,故该极限不存在,例6,分析,证,取,问：,下列推导是否正确？,答：不正确.,错误原因：,事实上，,此值与有关， 原极限不存在.,四、 多元函数的连续性,定义8.4,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,如果,则称,的间断点 .,则称函数,连续.,连续.,记作,定义8.5,定义在 D 上,如果,为函数,函数,不连续.,设二 元函数,则称此函数在 D 上,设函数,例如, 函数,在 (0 , 0)点极限不存在(例5(2),又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在其定义区域内连续.,例7 证明,在全平面连续.,证,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,性质1 (有界性与最大最小值定理),且能取得它在 D 上的最大值 M 及最小值 m ;,闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质:,在有界闭区域 D 上连续的多元函数必定在D上有界,性质2 (介值定理),在有界闭区域 D 上连续的多元函数必取得介于它在,D 上的最大值 和最小值之间的一切值.,求函数,的连续域.,解,例8,初等函数的连续域就是其定义域.,例9,解,内容小结,1. 平面点集,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3. 多元函数的极限,(1) 定义.,(2) 求二重极限的常用方法,1) 利用定义,2) 用变量代换化二重极限为一元函数的极限.,3) 利用夹逼准则，重要极限,4) 利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限,(3) 确定极限不存在的两种常用方法.,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭区域上的多元连续函数的性质:,有界性定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在其定义区域内连续,思考题,解,的函数 f(x,y)，,n次齐次函数 ),称为,(1)定义域,(2)定义域,解,解,定义域,4.,设,求,解(方法1) 令,设,求,(方法1) 令,即,备用题,解,例2-1,例2-2,解,而,则,故,此函数定义域 不包括 x , y 轴,化为一元函数极限,例3-1,解,例3-2,证,解 当 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于 (0, 0)点,在点 (0, 0) 处的极限.,则有,此结果随k 值不同而不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,例5-1 讨论函数,例5-2,解,例5-3,是否存在？,解,所以极限不存在.,