2019-2020年高考数学一模试卷含解析.doc

2019-2020年高考数学一模试卷含解析一、选择题（每小题5分，共50分）1i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设集合A=x|1x2，B=x|xa，若AB，则a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca1Da13下列选项错误的是（）A命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”B“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件C若命题“p：xR，x2+x+10”，则“p：x0R，x02+x0+1=0”D若“pq”为真命题，则p、q均为真命题4使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）ABCD5已知平面向量，的夹角为，且|=1，|+2|=2，则|=（）A2BC1D36在正项等比数列an中，若3a1， a3，2a2成等差数列，则=（）A3或1B9或1C3D97已知双曲线=1的一个焦点与抛物线x2=12y的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x8三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A2B4CD169如果执行如所示的程序框图，那么输出的S=（）A119B600C719D494910任取k1，1，直线L：y=kx+3与圆C：（x2）2+（y3）2=4相交于M、N两点，则|MN|2的概率为 （）ABCD11某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A72B120C144D168二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共25分）12函数f（x）=，若f（a）a，则实数a的取值范围是_13（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x，那么x的值为_14二项式的展开式中x5的系数为，则=_15锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B=2A，则的取值范围是_16若x、y满足，则z=y|x|的最大值为_17（文科）已知函数f（n），nN*，且f（n）N*若f（n）+f（n+1）+f（f（n）=3n+1，f（1）1，则f（6）=_18设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（ab）满足f（a）=f（），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为_二、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19已知向量=（cosx，sinx），=（2+sinx，2cosx），函数f（x）=，xR（）求函数f（x）的最大值；（）若x（，）且f（x）=1，求cos（x+）的值20（文科）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如下（人数）：项目数学优秀合格不合格英语优秀703020合格60240b不合格a2010已知英语、数学的优秀率分别为24%、30%（注：合格人数中不包含优秀人数）（1）求a、b的值；（11）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取6人，若再从这6人中任选2人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率21（理科）四棱镜PABCD中，PD平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，ADBC，PD=a，DAB=60（）若平面PAD平面PBC=l，求证：lBC；（）求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小22（文科）四棱镜PABCD中，PD平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，ADBC，PD=a，DAB=60，Q是PB的中点（）若平面PAD平面PBC=l，求证：lBC；（）求证：DQPC23袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中（1）重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率（2）重复上述过程3次后，记袋中白球的个数为X，求X的数学期望24设数列an的前n项和为Sn，且an=3Sn，数列bn为等差数列，且b5=15，b7=21（）求数列an的通项公式an；（）将数列中的第b1项，第b2项，第b3项，第bn项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列cn，求数列cn的前xx项和25（理科）已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为16，且a1，a2，a5成等比数列，数列bn满足bn=（）求数列an的通项公式an，和bn的前n项和Tn；（）是否存在正整数s，t（1st），使得T1，Ts，Tt成等比数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由26（文科）如图所示的封闭曲线C由曲线C1： +=1（ab0，y0）和曲线C2：x2+y2=r2（y0）组成，已知曲线C1过点（，），离心率为，点A、B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点（）求曲线C1和C2的方程；（）若点Q是曲线C2上的任意点，求QAB面积的最大值；（）若点F为曲线C1的右焦点，直线l：y=kx+m与曲线C1相切于点M，与x轴交于点N，直线OM与直线x=交于点P，求证：MFPN27（理科）如图所示的封闭曲线C由曲线C1： +=1（ab0，y0）和曲线C2：y=nx21（y0）组成，已知曲线C1过点（，），离心率为，点A、B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点（）求曲线C1和C2的方程；（）若点Q是曲线C2上的任意点，求QAB面积的最大值及点Q的坐标；（）若点F为曲线C1的右焦点，直线l：y=kx+m与曲线C1相切于点M，且与直线x=交于点N，求证：以MN为直径的圆过点F28（文科）设函数f（x）=x（ex1）ax2（e=2.71828是自然对数的底数）（）若a=，求f（x）的单调区间；（）若当x0时，f（x）0，求a的取值范围；（）若f（x）无极值，求a的值29（理科）设函数f（x）=x（ex1）ax2（e=2.71828是自然对数的底数）（）若a=，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在（1，0）无极值，求a的取值范围；（）设nN*，x0，求证：ex1+注：n！=n（n1）21xx山东省淄博市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简即可得到结论【解答】解： =38i，对应的坐标为（3，8），位于第三象限，故选：C2设集合A=x|1x2，B=x|xa，若AB，则a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca1Da1【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由集合A=x|1x2，B=x|xa，AB，即可得出a的取值范围【解答】解：集合A=x|1x2，B=x|xa，AB，a2则a的取值范围是a2故选：A3下列选项错误的是（）A命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”B“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件C若命题“p：xR，x2+x+10”，则“p：x0R，x02+x0+1=0”D若“pq”为真命题，则p、q均为真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据逆否命题的定义进行判断B根据充分条件和必要条件的定义进行判断C根据含有量词的命题的否定进行判断D根据复合命题真假关系进行判断【解答】解：A命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”，故A正确，B由x23x+20得x2或x1，即“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，故B正确，C若命题“p：xR，x2+x+10”，则“p：x0R，x02+x0+1=0”，故C正确，D若“pq”为真命题，p、q至少有一个为真命题，故D错误，故选：D4使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）ABCD【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+），由于它是奇函数，故+=k，kz，当k为奇数时，f（x）=2sin2x，满足在上是减函数，此时，=2n，nz，当k为偶数时，经检验不满足条件【解答】解：函数=2sin（2x+） 是奇函数，故+=k，kZ，=k当k为奇数时，令k=2n1，f（x）=2sin2x，满足在上是减函数，此时，=2n，nZ，选项B满足条件当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在上是减函数综上，只有选项B满足条件故选 B5已知平面向量，的夹角为，且|=1，|+2|=2，则|=（）A2BC1D3【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可【解答】解：|+2|=2，+4+4=|2+4|cos+4|2=|2+2|+4=12，解得|=2，故选：A6在正项等比数列an中，若3a1， a3，2a2成等差数列，则=（）A3或1B9或1C3D9【考点】等比数列的通项公式【分析】设正项等比数列an的公比为q0，由于3a1， a3，2a2成等差数列，可得a3=2a2+3a1，解出q，即可得出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，3a1， a3，2a2成等差数列，a3=2a2+3a1，化为，即q22q3=0，解得q=3则=q2=9，故选：D7已知双曲线=1的一个焦点与抛物线x2=12y的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点，由题意可得3=，解方程可得m，可得双曲线的方程，再将其中的“1”换为“0”，进而得到所求渐近线方程【解答】解：抛物线x2=12y的焦点为（0，3），由双曲线=1的一个焦点与抛物线x2=12y的焦点相同，可得3=，解得m=4，即有双曲线的方程为=1，可得渐近线方程为y=x故选：C8三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A2B4CD16【考点】简单空间图形的三视图【分析】由已知中的三视图可得SC平面ABC，底面ABC为等腰三角形，SC=4，ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得SC平面ABC，且底面ABC为等腰三角形，在ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在RtSBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B9如果执行如所示的程序框图，那么输出的S=（）A119B600C719D4949【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的T，S，k的值，当k=6时不满足条件k5，退出循环，输出S的值为719【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0，T=1满足条件k5，T=1，S=1，k=2满足条件k5，T=2，S=5，k=3满足条件k5，T=6，S=23，k=4满足条件k5，T=24，S=119，k=5满足条件k5，T=120，S=719，k=6不满足条件k5，退出循环，输出S的值为719故选：C10任取k1，1，直线L：y=kx+3与圆C：（x2）2+（y3）2=4相交于M、N两点，则|MN|2的概率为 （）ABCD【考点】几何概型【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题然后结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：由圆的方程得：圆心（2，3），半径r=2，圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|2，2=22，变形整理得4k2+44k23k2+3，即解得：k，k的取值范围是，则对应|MN|2的概率P=故选A11某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A72B120C144D168【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，分2步进行分析：、先将3个歌舞类节目全排列，、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是642=48种；将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是626=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共25分）12函数f（x）=，若f（a）a，则实数a的取值范围是a1【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数的表达式进行解不等式即可得到结论【解答】解：若a0，则由f（a）a得a1a，即a1，则，即a2此时a0，若a0时，则由f（a）a得a，即1a2，则1a1，此时1a0，综上a1，故答案为：a113（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x，那么x的值为2【考点】茎叶图【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数公式即可求出x的值【解答】解：根据茎叶图中的数据知，170+（1+2+x+4+5+10+11）=175，即（33+x）=5，即33+x=35，解得x=2故答案为：214二项式的展开式中x5的系数为，则=【考点】定积分；二项式系数的性质【分析】先用二项式定理求得a的值，再求定积分的值【解答】解：由二项式定理可得：的系数为，则a=1，=dx=故答案为：15锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B=2A，则的取值范围是（，）【考点】正弦定理；余弦定理【分析】根据正弦定理可得到，结合B=2A根据二倍角公式可得，整理得到=2cosA，再求得A的范围即可得到的取值范围【解答】解：由正弦定理：得，B=2A，=2cosA，当B为最大角时B90，A45，当C为最大角时C90，A30，30A45，2cos452cosA2cos30，（，）故答案为：（，）16若x、y满足，则z=y|x|的最大值为【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【解答】解：表示的可行域如图：z=y|x|，即：y=+z=，由可得，A（1，3），目标函数经过A（1，3）时取得最大值：故答案为：17（文科）已知函数f（n），nN*，且f（n）N*若f（n）+f（n+1）+f（f（n）=3n+1，f（1）1，则f（6）=5【考点】函数的值【分析】由f（n）+f（n+1）+f（f（n）=3n+1，可得：f（1）+f（2）+f（f（1）=4，由于f（1）1，且f（n）N*则必有f（1）=2，化为2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1分别令n=2，3，4，5，即可得出【解答】解：f（n）+f（n+1）+f（f（n）=3n+1，f（1）+f（2）+f（f（1）=4，f（1）1，且f（n）N*则必有f（1）=2，化为2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1，满足题意令n=2，则f（2）+f（3）+f（f（2）=7，可得：1+f（3）+f（1）=7，可得f（3）=4令n=3，则f（3）+f（4）+f（f（3）=10，可得：4+f（4）+f（4）=10，可得f（4）=3令n=4，则f（4）+f（5）+f（f（4）=13，可得：3+f（5）+f（3）=13，即3+f（5）+4=13，可得f（5）=6令n=5，则f（5）+f（6）+f（f（5）=13，可得：6+f（6）+f（6）=16，可得f（6）=5故答案为：518设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（ab）满足f（a）=f（），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为【考点】抽象函数及其应用；函数的值【分析】根据题目给出的等式f（a）=f（），代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解【解答】解：因为f（a）=f（），所以|lg（a+1）|=|lg（+1）|=|lg（）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为ab，所以a+1b+2，所以（a+1）（b+2）=1又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+10，从而0a+1b+1b+2，于是0a+11b+2所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+1从而f（10a+6b+21）=|lg6（b+2）+|=lg6（b+2）+又f（10a+6b+21）=4lg2，所以lg6（b+2）+=4lg2，故6（b+2）+=16解得b=或b=1（舍去）把b=代入（a+1）（b+2）=1解得a=所以 a=，b=a+b=故答案为：二、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19已知向量=（cosx，sinx），=（2+sinx，2cosx），函数f（x）=，xR（）求函数f（x）的最大值；（）若x（，）且f（x）=1，求cos（x+）的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象【分析】（）由向量的数量积和三角函数公式可得f（x）=4sin（x+），可得最大值；（）由题意可得sin（x+）=，由x范围和同角三角函数基本关系可得cos（x+）=，整体代入cos（x+）=cos（x+）+=cos（x+）sin（x+），计算可得【解答】解：（）=（cosx，sinx），=（2+sinx，2cosx），f（x）=cosx（2+sinx）+sinx（2cosx）=2（sinx+cosx）=4sin（x+），函数f（x）的最大值为4；（）f（x）=4sin（x+）=1，sin（x+）=，x（，），x+（，），cos（x+）=，cos（x+）=cos（x+）+=cos（x+）sin（x+）=20（文科）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如下（人数）：项目数学优秀合格不合格英语优秀703020合格60240b不合格a2010已知英语、数学的优秀率分别为24%、30%（注：合格人数中不包含优秀人数）（1）求a、b的值；（11）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取6人，若再从这6人中任选2人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【分析】（）设该校高二学生共有x人，依题意，得：，由此能求出a、b的值（）由题意，得抽取的数学不及格的6人中，英语优秀的应取2人，利用列举法能求出这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率【解答】解：（）设该校高二学生共有x人，已知英语优秀的有70+30+20=120人，依题意，得：，解得x=500，解得a=20，由学生总数为500人，得b=30（）由题意，得抽取的数学不及格的6人中，英语优秀的应取2人，分别记为a1，a2，英语合格的3人，分别记为b1，b2，b3，英语不合格的应取1人，记为c，从中任取2人的所有结果有： =15种，这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的基本事件有：a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，共6个，这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率p=21（理科）四棱镜PABCD中，PD平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，ADBC，PD=a，DAB=60（）若平面PAD平面PBC=l，求证：lBC；（）求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）由BC平面PAD，推导出lBC（）连结BD，以D为原点，分别以DA，DB，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小【解答】证明：（）ADBC，AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，又平面PBC过BC，且与平面PAD交于l，lBC解：（）连结BD，ABD中，AD=a，AB=2a，DAB=60，由余弦定理，得：BD2=DA2+AB22DAABcos60=3a2，BD=，AB2=AD2+BD2，ABD为直角三角形，且ADBD，PD平面ABCD，以D为原点，分别以DA，DB，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，BD平面PAD，=（0，0）是平面PAD的法向量，设平面PBC的法向量=（x，y，z），P（0，0，），B（0，0），C（2a，0），=（0，），=（2a，0，0），则，取z=1，得=（0，1，1）cos=，平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为4522（文科）四棱镜PABCD中，PD平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，ADBC，PD=a，DAB=60，Q是PB的中点（）若平面PAD平面PBC=l，求证：lBC；（）求证：DQPC【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质【分析】（）由ADBC，得BC平面PAD，由此能证明lBC（）连结BD，由余弦定理，得BD=，从而BDAD，BCPD，进而BC平面PBD，平面PBD平面PBC，再由DQPB，得DQ平面PBC，由此能证明DQPC【解答】证明：（）ADBC，AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，又平面PBC过BC，且与平面PAD交于l，lBC（）连结BD，ABD中，AD=a，AB=2a，DAB=60，由余弦定理，得：BD2=DA2+AB22DAABcos60，解得BD=，AB2=AD2+BD2，ABD为直角三角形，BDAD，ADBC，BCPD，PDBD=D，BC平面PBD，BC平面PBC，平面PBD平面PBC，又PD=BD=，Q为PB中点，DQPB，平面PBD平面PBC=PB，DQ平面PBC，PC平面PBC，DQPC23袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中（1）重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率（2）重复上述过程3次后，记袋中白球的个数为X，求X的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（）由题意得当袋中有4个白球时，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，由此能求出袋中有4个白球的概率（）由题意X的所有可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（）由题意得当袋中有4个白球时，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，袋中有4个白球的概率P=（）由题意X的所有可能取值为3，4，5，6，P（X=3）=，P（X=4）=+=，P（X=5）=+=，X的分布列为： X3 45 6 PE（X）=24设数列an的前n项和为Sn，且an=3Sn，数列bn为等差数列，且b5=15，b7=21（）求数列an的通项公式an；（）将数列中的第b1项，第b2项，第b3项，第bn项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列cn，求数列cn的前xx项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）由an=3Sn，当n=1时，a1=3a1，解得a1=；当n2时，可得：anan1=an，化为，利用等比数列的通项公式即可得出（II）设等差数列bn的公差为d，由b5=15，b7=21可得，解得b1=d=3，即可得出. =将数列中的第3项，第6项，第9项，第3n项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列cn，其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为=， =，公比都为8利用等比数列前n项和公式即可得出【解答】解：（I）an=3Sn，当n=1时，a1=3a1，解得a1=；当n2时，an1=3Sn1，anan1=3Sn（3Sn1）=an，化为，数列an是等比数列，首项为，公比为，可得： =（II）设等差数列bn的公差为d，b5=15，b7=21，解得b1=d=3，bn=3+3（n1）=3n=将数列中的第3项，第6项，第9项，第3n项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列cn，其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为=， =，公比都为8数列cn的前xx项和=（c1+c3+cxx）+（c2+c4+cxx）=+=25（理科）已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为16，且a1，a2，a5成等比数列，数列bn满足bn=（）求数列an的通项公式an，和bn的前n项和Tn；（）是否存在正整数s，t（1st），使得T1，Ts，Tt成等比数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）设等差数列an的公差为d，由S4=16，且a1，a2，a5成等比数列，可得，d0，解出即可得出an由bn=利用“裂项求和”可得bn（II）T1=，Ts=，Tt=若T1，Ts，Tt成等比数列，则=，化简整理即可得出【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，S4=16，且a1，a2，a5成等比数列，d0，解得d=2，a1=1，an=2n1bn=bn的前n项和Tn=+=（II）T1=，Ts=，Tt=若T1，Ts，Tt成等比数列，则=，可得： =，t=，由2s2+4s+10，解得s1+，sN*，s1，可得s=2，解得t=12当s=2，t=12时，T1，Ts，Tt成等比数列26（文科）如图所示的封闭曲线C由曲线C1： +=1（ab0，y0）和曲线C2：x2+y2=r2（y0）组成，已知曲线C1过点（，），离心率为，点A、B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点（）求曲线C1和C2的方程；（）若点Q是曲线C2上的任意点，求QAB面积的最大值；（）若点F为曲线C1的右焦点，直线l：y=kx+m与曲线C1相切于点M，与x轴交于点N，直线OM与直线x=交于点P，求证：MFPN【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（I）曲线C1过点（，），离心率为，可得=1，又a2=b2+c2，联立解得a，b，可得曲线C1的方程可得A，点A在曲线C2上，可得r（II）A（2，0），B（0，1），利用截距式可得直线AB的方程由题意可知：当曲线C2在点Q处的切线与直线AB平行时，QAB的面积最大，设切线方程为：x2y+t=0，由直线与圆相切的性质可得t利用平行线之间的距离公式可得QAB的AB边上的高h，即可得出SQAB的最大值=|AB|h（III）由题意可得：k0，F，N设M（x0，y0），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，又直线l与曲线C1相切于点M，可得=0，即m2=4k2+1利用根与系数的关系可得M，kOM，点P的坐标可得=，即可证明MFPN【解答】（I）解：曲线C1过点（，），离心率为，=1，又a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，可得曲线C1的方程为： +y2=1，（y0）可得A（2，0），点A在曲线C2上，r=2，可得方程：x2+y2=4（y0）（II）解：A（2，0），B（0，1），可得直线AB的方程： =1，化为：x2y+2=0由题意可知：当曲线C2在点Q处的切线与直线AB平行时，QAB的面积最大，设切线方程为：x2y+t=0，由直线圆相切的性质可得： =2，由可知t0，解得t=2此时QAB的AB边上的高h=2+SQAB的最大值=|AB|h=+1，QAB面积的最大值为+1（III）证明：由题意可得：k0，F，N设切点M（x0，y0），由，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，又直线l与曲线C1相切于点M，=（8km）24（1+4k2）（4m24）=0，即m2=4k2+1x0=，y0=kx0+m=，M，即MkOM=，=， =，=，MFPN27（理科）如图所示的封闭曲线C由曲线C1： +=1（ab0，y0）和曲线C2：y=nx21（y0）组成，已知曲线C1过点（，），离心率为，点A、B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点（）求曲线C1和C2的方程；（）若点Q是曲线C2上的任意点，求QAB面积的最大值及点Q的坐标；（）若点F为曲线C1的右焦点，直线l：y=kx+m与曲线C1相切于点M，且与直线x=交于点N，求证：以MN为直径的圆过点F【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（I）曲线C1过点（，），离心率为，可得=1，又a2=b2+c2，联立解得可得曲线C1的方程可得A，代入曲线C2方程，即可得出方程（II）A（2，0），B（0，1），利用截距式可得直线AB的方程由题意可知：当曲线C2在点Q处的切线与直线AB平行时，QAB的面积最大，设切线方程为：x2y+t=0，可知：切线斜率为，利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得出切点Q代入切线方程可得t，利用平行线之间的距离公式可得：QAB的AB边上的高h，即可得出面积的最大值（III）由题意可得：k0，F，N设切点M（x0，y0），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，又直线l与曲线C1相切于点M，可得=0，即m2=4k2+1利用根与系数的关系解出M可得N，利用=0，即可证明以MN为直径的圆过点F【解答】（I）解：曲线C1过点（，），离心率为，=1，又a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，可得曲线C1的方程为： +y2=1（y0）可得A（2，0），点A在曲线C2上，0=4n1，解得n=，可得方程：y=x21（y0）（II）解：A（2，0），B（0，1），可得直线AB的方程： =1，化为：x2y+2=0由题意可知：当曲线C2在点Q处的切线与直线AB平行时，QAB的面积最大，设切线方程为：x2y+t=0，可知：切线斜率为，y=，设切点Q（xQ，yQ），则=，解得xQ=1，yQ=，可得Q代入切线方程可得t=，可得：切线方程为2x4y5=0此时QAB的AB边上的高h=SQAB的最大值=|AB|h=，QAB面积的最大值为，此时Q（III）证明：由题意可得：k0，F，N设切点M（x0，y0），由，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，又直线l与曲线C1相切于点M，=（8km）24（1+4k2）（4m24）=0，即m2=4k2+1x0=，y0=kx0+m=，M，即M可得N，=， =，=+=0，以MN为直径的圆过点F28（文科）设函数f（x）=x（ex1）ax2（e=2.71828是自然对数的底数）（）若a=，求f（x）的单调区间；（）若当x0时，f（x）0，求a的取值范围；（）若f（x）无极值，求a的值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）a=时，化简f（x）=x（ex1）x2，从而求导确定函数的单调性；（）化简f（x）=x（ex1ax），令g（x）=ex1ax，g（x）=exa，从而讨论以确定函数的单调性及最值，从而解得；（）求出f（x）的导数，得到g（x）=ex+，h（x）=，根据函数的单调性判断出g（x）=ex+h（x）2，得到2ag（x），得2a2，a1；且g（x）=ex+h（x）2，从而求出a的值即可【解答】解：（）a=时，f（x）=x（ex1）x2，f（x）=（ex1）+xexx=（ex1）（x+1），则当x（，1）时，f（x）0，当x（1，0）时，f（x）0，当x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（，1），（0，+）上单调递增，在（1，0）上单调递减；（）f（x）=x（ex1ax），令g（x）=ex1ax，g（x）=exa，若a1，则g（x）在0，+）上是增函数，而g（0）=0，从而f（x）0；若a1，则g（x）在（0，lna）上是减函数，且g（0）=0，故当x（0，lna）时，f（x）0；综上可得，a的取值范围为（，1；（）若f（x）无极值，则f（x）在R单调，又f（x）=（x+1）ex2ax1，若f（x）在R递减，则f（x）0，对xR恒成立，而当x0=2|1a|+1时，利用不等式ex1+x，（xR），可得：f（x0）=（x0+1）2ax012ax01=（2|1a|+1）2|1a|+1+2（1a）2|1a|+10，与假设矛盾，因此，f（x）在R递增，则f（x）=（x+1）ex2ax10对xR恒成立，显然f（0）=0对任意aR成立，当x0时，2a=ex+，令g（x）=ex+，h（x）=，下面证明h（x）在（，0），（0，+）上单调递增，h（x）=，令r（x）=（x1）ex+1，则r（x）=xex，x0时，r（x）0，r（x）递增，r（x）r（0）=0，h（x）0，h（x）在（0，+）递增；x0时，r（x）0，r（x）递减，r（x）r（0）=0，h（x）0，h（x）在（0，+）递增；当x0时，由ex1+x得h（x）1，从而g（x）=ex+h（x）2，于是2ag（x），得2a2，a1；x0时，2ag（x），此时h（x）1，从而g（x）=ex+h（x）2，于是2ag（x），得2a2，a1，综上，a=1时f（x）无极值29（理科）设函数f（x）=x（ex1）ax2（e=2.71828是自然对数的底数）（）若a=，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在（1，0）无极值，求a的取值范围；（）设nN*，x0，求证：ex1+注：n！=n（n1）21【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）a=时，化简f（x）=x（ex1）x2，从而求导确定函数的单调性；（）求出f（x）的导数，得到g（x）=ex+，h（x）=，根据函数的单调性判断出g（x）=ex+h（x）1，得到2a1；且g（x）=ex+h（x）2，从而求出a的值即可；（）利用数列归纳法证明，假设当n=k时不等式成立，即ex1+，从而令m（x）=ex（1+），显然m（0）=0，m（x）=ex（1+）0，从而证明【解答】解：（1）a=时，f（x）=x（ex1）x2，f（x）=（ex1）+xexx=（ex1）（x+1），则当x（，1）时，f（x）0，当x（1，0）时，f（x）0，当x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（，1），（0，+）上单调递增，在（1，0）上单调递减；（）若f（x）在（1，0）无极值，则f（x）在（1，0）单调，又f（x）=（x+1）ex2ax1，若f（x）在（1，0）单调递减，则f（x）0在（1，0）恒成立，于是2a=ex+，令g（x）=ex+，h（x）=，下面证明h（x）在（，0）上单调递增，h（x）=，令r（x）=（x1）ex+1，则r（x）=xex，x0时，r（x）0，r（x）递减，r（x）r（0）=0，h（x）0，h（x）在（，0）递增；当x（1，0）时，由g（x）=ex+h（x）是增函数，从而g（x）g（1）=1，于是2ag（x），得2a1，a；若f（x）在（1，0）单调递增，则f（x）0在（1，0）恒成立，于是2ag（x），当x（1，0）时，由ex1+x，得h（x）=1，g（x）=ex+h（x）2，从而2a2，a1；综上，a（，1，+）时，f（x）在（1，0）内无极值；（）用数学归纳法证明：当n=1时，令h（x）=exx1，h（x）=ex10，h（0）=0；故h（x）h（0）=0，故exx+1；假设当n=k时不等式成立，即ex1+，当n=k+1时，令m（x）=ex（1+），显然m（0）=0，m（x）=ex（1+）0，故m（x）m（0）=0，即ex1+成立，综上所述，ex1+xx9月18日