2019-2020年高中数学实际问题的函数建模-备课资源北师大版必修1.doc

2019-2020年高中数学实际问题的函数建模-备课资源北师大版必修1设通过n次检测，得到一系列的数据资料i123nxix1x2x3xnyiy1y2y3yn其中i表示检测序号，xi为变量x在第i次检测中的数值，yi则为变量y相应的数值根据这些数据如何建立一种最佳的形式表达变量x和y的函数关系呢？一般说来，根据n对数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）可以确定一个（n1）次多项式模型：ya0a1xa2x2an1xn1以某地在18901990年100年间人口资料为例以20年作为一个单位，x表示从1890年以来的单位数，该地的人口数P（x）可以假设为一个4次多项式：P（x）a0a1xa2x2a3x3a4x4将数据代入，得到一个五元一次方程组通过计算，得到P（x）的具体表达式其图形如下图所示借助这一多项式模型，我们可以近似地了解1890年到1970年该地人口数的变化情况拉格朗日插值法使我们可以更为迅速地建立P（x）的多项式表达式为简捷起见，仍以这一问题为例加以说明这一问题中给出了5对数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），其中yi即P（xi）（i1，2，5）拉格朗日插值法告诉我们根据这5对数据所建立的多项式函数yP（x）的具体表达式为其理由是显然的右端的第一项中的分式在xx2、x3、x4、x5时均为零，而在xx1时恰好为1右端的其他几项在xx1时都为零，这样就满足第1对数据（x1，y1）同理，该多项式满足其他的4对数据